AMC 10 · 2021 · #6

학년 8 geometry-3d
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
volume-conevolume-cylinderformula-substitutionfraction-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: volume-cylindervolume-cone
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
뾰족한 끝이 아래를 향한 원뿔에 물이 가득 차 있습니다. 밑면 반지름은 12센티미터, 높이는 18센티미터입니다. 이 물을 밑면 반지름이 24센티미터인 원기둥에 모두 붓습니다. 원기둥 안 물의 높이를 센티미터로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1.5
(B)
3
(C)
4
(D)
4.5
(E)
6
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): (a) 원뿔 물 부피 (b) 원기둥 밑면 넓이 (c) 부피 = 밑면 × 높이 풀이 — 세 단계로 분리. 도구 #8(단위 살펴보기): cm³ ÷ cm² = cm — 답이 길이임을 확인. 도구 #9(더 쉬운 문제로): 원기둥 반지름이 정확히 원뿔의 2 배 — 밑면 넓이는 4 배. 만약 반지름이 같다면 원뿔 높이의 1/3이 답(6 cm), 반지름 2 배 → 밑면 4 배 → 높이 1/4 → 최종 6/4 = 1.5 cm. 도구 #3(가능성 지우기): h_c / 3 = 6 미만의 답만 물리적으로 타당.

1STEP 1

원뿔의 부피 구하기

원뿔 부피에는 3분의 1이 붙습니다.

V_c = 1/3 π · 144 · 18 = π · 144 · 6 = 864 π cm³
2STEP 2

원기둥의 밑면 넓이

원기둥의 밑면 넓이를 구합니다.

π r_y² = π · 576 = 576 π cm²
3STEP 3

부피를 넓이로 나누기

나누면 파이가 약분됩니다.

h_y = (864 π)/(576 π) = 864/576
4STEP 4

약분해서 정리하기

정리하면 깔끔한 값이 나옵니다.

h_y = 864/576 = 3/2 = 1.5 cm
5STEP 5

보기와 맞추기

높이는 1.5센티미터입니다.

h_y = 1.5 → (A)
정답
1.5
도구 #9(더 쉬운 문제로) 검산. 만약 원기둥 반지름이 원뿔과 같은 12 라면 같은 물이 높이 1/3 · 18 = 6 cm 를 채움 (원뿔 = 같은 밑면·높이 원기둥의 1/3). 반지름 2 배 → 밑면 4 배 → 높이 6/4 = 1.5 cm. 답 일치, (A) 확정. 또한 1.5 ≪ 18은 좁은 원뿔의 물을 넓은 원기둥에 부었으니 얕게 깔리는 직관과 일치.
💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 원뿔 부피 공식 1/3π r² h 만 알면 풀 수 있어요 — 원뿔이 담은 물은 864π cm³, 넓은 원기둥 밑면이 576π cm² 라서 물 높이는 864/576 = 1.5 cm, 답 (A).

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