AMC 10 · 2021 · #7

학년 6 number-theory
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps
prime-factorizationdivisor-sumdivisor-countratio-proportion identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: prime-factorizationdivisor-count
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 수를 네 인수의 곱으로 정의합니다. 그 수의 홀수 약수의 합과 짝수 약수의 합의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1 : 16
(B)
1 : 15
(C)
1 : 14
(D)
1 : 8
(E)
1 : 3
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(쪼개기): (a) N 의 소인수분해로 2의 지수를 알아내고, (b) 홀수 약수만의 합을 묶고, (c) 전체-홀수 = 짝수 합으로 정리. 도구 #9(쉬운 문제)로 작은 예 N = 2³ · 3 = 24 에서 약수를 직접 적어 구조 확인. 도구 #5(패턴): 모든 약수는 (2의 거듭제곱) × (홀수 약수) 이므로 짝수 약수 합은 홀수 약수 합의 (2 + 4 + 8) = 14 배. 도구 #3으로 (C) 선택.

1STEP 1

소인수분해하기

네 인수를 모두 소인수로 풉니다.

N = (2² · 17²)(3² · 7)(2 · 3³ · 5) = 2³ · 3⁵ · 5 · 7 · 17²
2STEP 2

2의 지수 떼어 내기

짝수 약수는 홀수 약수에 2의 거듭제곱을 곱한 것입니다.

sum even(24) = (2+4+8)(1+3) = 14 · 4 = 56
3STEP 3

짝수 합을 홀수 합으로 쓰기

짝수 합이 홀수 합의 배수가 됩니다.

S_even = (2 + 4 + 8) S_odd = 14 S_odd
4STEP 4

홀수 합 약분하기

홀수 합이 통째로 약분됩니다.

S_odd/S_even = 1/14
5STEP 5

비 읽기

비는 1 대 14입니다.

1 : 14 → (C)
정답
1 : 14
2의 지수 검산: 34 · 34 에서 2², 270 에서 2¹ → 합쳐 2³. 약수합 공식 σ(2³) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 1 + 14 — 홀수 부분 1과 짝수 부분 14가 정확히 분리. 비 1 : 14는 2³ · (홀수) 형태의 어떤 수에도 그대로 — N 의 2의 지수만이 이 비를 결정한다는 사실과 일치.
💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 때 배운 비의 감각만 알면 풀 수 있어요! 소인수분해로 N = 2³ · 3⁵ · 5 · 7 · 17² — 비는 2³ 부분만이 결정. 모든 짝수 약수 = (2, 4, 8 중 하나) × (홀수 약수) 이므로, 짝수 약수 합은 홀수 약수 합의 (2+4+8) = 14 배. 비 1 : 14, 답 (C).

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