AMC 10 · 2021 · #15

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

vieta-formulascomplex-numberspolynomial-rootssymmetric-polynomials identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: vieta-formulascomplex-numbers

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 사차식에 복소수 근이 네 개 있습니다. 각 근을 켤레로 바꾼 뒤 4i를 곱하는 사상에 넣습니다. 그 네 결과가 새로운 최고차항 계수 1인 사차식의 근이 됩니다. 새 사차식의 이차항 계수와 상수항을 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}304$

(B)

${-}208$

(C)

12i

(D)

208

(E)

304

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

P 의 네 근을 직접 찾으려는 시도는 가망이 없다. 눈에 띄는 인수분해가 없는 사차식이기 때문이다. 그러니 관점을 바꾸자. 다항식의 계수는 어느 한 근으로 만들어지는 것이 아니라, 네 근 전부를 한꺼번에 쓰면서 순서는 상관하지 않는 합과 곱으로 만들어진다. 그리고 그 조합들은 근과 계수의 관계(비에트 정리)가 P 의 계수에서 공짜로 알려준다. B 와 D 도 새 근들의 그런 조합이고, 새 근은 모두 옛 근에 켤레를 취해 똑같은 수 4i 를 곱한 것이므로, 근을 하나도 모른 채 조합만으로 계산을 끝낼 수 있다.

1STEP 1

P 에서 근의 합과 곱 읽어내기

원래 식에서 근의 대칭식을 읽습니다.

Σ z_i = -4, Σ_i ＜ j z_i z_j = 3, Σ_i ＜ j ＜ k z_i z_j z_k = -2, z₁ z₂ z₃ z₄ = 1

2STEP 2

B 와 D 의 정체 밝히기

구하는 두 계수의 정체를 밝힙니다.

B = Σ_i ＜ j w_i w_j, D = w₁ w₂ w₃ w₄

3STEP 3

4i 를 밖으로 빼내기

곱해진 상수를 밖으로 빼냅니다.

Σ_i ＜ j w_i w_j = (4i)² Σ_i ＜ j z_i z_j, w₁ w₂ w₃ w₄ = (4i)⁴ z₁ z₂ z₃ z₄

4STEP 4

켤레는 아무것도 바꾸지 않는다

실수 계수라 켤레가 아무것도 바꾸지 않습니다.

Σ_i ＜ j z_i z_j = Σ_i ＜ j z_i z_j = 3 = 3, z₁ z₂ z₃ z₄ = 1 = 1

5STEP 5

곱해서 더하기

곱해 더하면 208입니다.

B = (4i)² · 3 = -48, D = (4i)⁴ · 1 = 256, B + D = 208

정답

208

상수항은 따로 확인하기 쉽다. 새 근 네 개의 곱은 옛 근 네 개의 곱에 (4i)⁴을 곱한 것인데, (4i)⁴ = 256이고 옛 곱은 1 이므로 D = 256이다. i⁴ = 1 이므로 양의 실수인 것도 당연하다. 여기서 이미 답이 200 보다 크다는 것이 정해지므로 -304와 -208은 탈락이고, B = -48이 256을 304로 올리는 대신 208로 내린다. (C) 12i 는 계산 없이도 지울 수 있다. P 의 근은 켤레 쌍으로 나오므로 새 근도 고정된 인수만 빼면 마찬가지이고, 대칭식은 실수로 남기 때문이다. B + D = 208은 이 모든 것과 앞뒤가 맞는다.

💡핵심 정리

다항식의 계수를 알려고 근을 다 구할 필요는 없다. 계수는 네 근을 한꺼번에 쓰는 합과 곱으로 만들어지므로, 모든 근에 4i 를 곱하면 그 꾸러미에 4i 의 거듭제곱이 붙을 뿐이다.

P 에서 근의 합과 곱 읽어내기
B 와 D 의 정체 밝히기
4i 를 밖으로 빼내기
켤레는 아무것도 바꾸지 않는다
곱해서 더하기

P 에서 근의 합과 곱 읽어내기

B 와 D 의 정체 밝히기

4i 를 밖으로 빼내기

켤레는 아무것도 바꾸지 않는다

곱해서 더하기

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