AMC 10 · 2021 · #17

학년 9 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination
quadratic-equationssign-analysisinterval-arithmeticsystematic-enumeration bound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: quadratic-equations
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
같은 두 양의 정수로 만든 두 이차식이 있고 역할만 서로 바뀌어 있습니다. 두 이차식 모두 서로 다른 두 실근을 갖지 못하게 하는 순서쌍이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
6
(C)
8
(D)
12
(E)
16
풀이 과정
전략 극단의 원리

"순서쌍이 몇 개인가" 라는 물음은 나열을 부르지만, b 와 c 가 모든 양의 정수를 훑기 때문에 무작정 나열하면 끝나지 않는다. 해법은 먼저 번역하고 그다음 범위를 묶는 것이다. 번역은 기계적이다. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 갖는 것은 판별식이 양수인 것과 같으므로, 그렇지 않다는 것은 판별식이 0 이하라는 뜻이다. 이차식 하나가 부등식 하나를 주므로 둘을 합치면 팽팽한 연립부등식이 된다. 그다음이 핵심이다. 두 부등식을 서로에게 밀어 넣어 b 하나만 조인다. 각 부등식은 한 문자가 다른 문자의 제곱에 눌린다고 말하고, 이를 이어 붙이면 b³ ＜ = 64가 되어 b 는 1, 2, 3, 4 뿐이다. 탐색 범위가 유한해지면 네 값에 대한 짧은 나열로 개수가 끝난다.

1STEP 1

조건을 판별식으로 번역하기

조건을 판별식으로 번역합니다.

p² - 4q ＞ 0 ⇔ two distinct real roots → not two distinct ⇔ p² - 4q ≤ 0
2STEP 2

두 이차식으로 연립부등식 세우기

두 이차식으로 연립부등식을 세웁니다.

b² - 4c ≤ 0 and c² - 4b ≤ 0 ⟺ b² ≤ 4c and c² ≤ 4b
3STEP 3

b 를 유한한 범위로 조이기

서로 대입하면 범위가 좁아집니다.

b² ≤ 4c → b⁴ ≤ 16c² ≤ 64b → b³ ≤ 64 → b ≤ 4
4STEP 4

b 값마다 확인하기

남은 값마다 직접 확인합니다.

b=1:& c ≥ 1, c ≤ 2 &&→ c ∈ {1,2} ; b=2:& c ≥ 1, c ≤ 2 &&→ c ∈ {1,2} ; b=3:& c ≥ 3, c ≤ 3 &&→ c = 3 ; b=4:& c ≥ 4, c ≤ 4 &&→ c = 4
5STEP 5

살아남은 쌍 모아 세기

쌍을 모아 세면 6개입니다.

{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)} 2 + 2 + 1 + 1 = 6
정답
6
조건이 b 와 c 에 대칭이므로 살아남은 쌍의 집합도 맞바꿈에 대해 닫혀 있어야 한다. 실제로 그렇다. (1,2)와 (2,1)이 둘 다 있고 나머지는 이미 대각선 위에 있다. 두 부등식을 영역으로 보면 b² ＜ = 4c 는 옆으로 열린 포물선의 안쪽이고 c² ＜ = 4b 는 그 거울상의 안쪽인데, 두 포물선은 (0,0)과 (4,4) 에서 만난다. b = 4가 살아남는 마지막 값이라는 사실과 정확히 맞아떨어진다. 경계 확인도 해 보자. b = 5이면 아래 한계가 4c ＞ = 25 라 c ＞ = 7 인데 위 한계는 c² ＜ = 20이라 c ＜ = 4 여서 불가능하다. 6은 보기와 견주어도 그럴듯하다. 영역이 얇은 렌즈 모양이므로 작은 값이 믿을 만하다.
💡핵심 정리

조건이 각 미지수를 다른 미지수의 제곱으로 눌러 놓았다면, 두 한계를 서로에게 먹여서 한 문자를 유한한 범위에 가둔 다음 남은 것만 나열하면 된다.

  • 조건을 판별식으로 번역하기
  • 두 이차식으로 연립부등식 세우기
  • b 를 유한한 범위로 조이기
  • b 값마다 확인하기
  • 살아남은 쌍 모아 세기

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