AMC 10 · 2021 · #18
학년 11 probability답을 골라 클릭하세요.
여기서는 도구 #16 (관점 바꾸기)이 핵심이다: 문제는 두 확률 각각이 아니라 두 확률의 비를 묻고 있고, 두 확률 모두 똑같은 5²⁰ 개의 동등한 경우의 수 중에서 세는 값이다. 확률에서 경우의 수로 시선을 옮기면 계산을 시작하기도 전에 분모가 사라진다. 이어서 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)로 각 경우의 수를 두 개의 독립적인 결정 — 어느 통이 특이한 개수를 갖는가, 그리고 어느 공이 어디로 가는가 — 으로 나누면, 경우 나누기 없이 짧은 곱으로 끝난다. 마지막으로 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)가 숫자를 작게 유지한다: 경우의 수에는 20! 이 등장하지만 이를 실제로 계산할 필요는 전혀 없다. 비를 하나의 분수로 적으면 거대한 계승들이 서로 약분되어 한 줄의 산술만 남기 때문이다.
분모가 같으니 경우의 수만 비교하기
분모가 같으니 경우의 수만 비교합니다.
두 사건이 같은 동등 확률 더미 안에 있다면, 확률의 비는 각 사건이 품고 있는 경우의 수의 비와 똑같다.
10.S-CP.A.1Change Focus Count The Complement전부 4개인 경우 세기
전부 4개인 경우를 셉니다.
이름 붙은 물건을 정해진 크기의 묶음으로 나누는 것은 다항계수 하나다: 전체 20! 가지 배열을, 각 묶음 안에서 순서를 바꿔도 달라지지 않는 경우로 나눈 값이다.
11.S-CP.B.9Identify Subproblems3-5-4-4-4 인 경우 세기
어느 통이 다른지도 골라야 합니다.
어느 통이 예외인지 고르는 일은 어느 공이 어디로 가는지 정하는 일과 별개의 작은 문제이므로, 두 경우의 수는 그냥 곱하면 된다.
어느 통이 예외인지 고르는 일은 어느 공이 어디에 놓이는지 고르는 일과 따로다.
▸ 왜?
두 선택은 서로 상관없이 이루어지므로, 개수가 곱해진다.
▸ 왜?
각 결과는 정확히 그 두 선택의 한 짝에서 나오므로, 두 번 세어지는 것이 없다.
곱하기 전에 약분하기
곱하기 전에 약분합니다.
20! 처럼 큰 수는 계산할 가치가 없다 — 하나의 분수로 적으면 자기 짝을 만나 사라진다.
9.A-SSE.A.2Solve An Easier Related Problem산술 마무리하기
계산하면 16입니다.
이웃한 계승끼리의 비는 곱셈 한 번이나 나눗셈 한 번으로 줄어들어, 마지막 줄에는 계산기가 필요 없다.
9.A-SSE.A.2Solve An Easier Related Problem두 사건 모두 같은 5²⁰ 개의 동등한 경우 중에서 세는 것이므로, 확률의 비는 결국 경우의 수의 비다 — 하나의 분수로 적으면 거대한 계승들이 서로 지워진다.
- 분모가 같으니 경우의 수만 비교하기
- 전부 4개인 경우 세기
- 3-5-4-4-4 인 경우 세기
- 곱하기 전에 약분하기
- 산술 마무리하기