AMC 10 · 2021 · #19
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
sin(x)=sin(x²)은 x를 따로 떼어내는 방식으로는 풀 수 없다. 사인에는 대수적인 역함수가 없기 때문이다. 하지만 사인값이 같다는 것은 신비로운 조건이 아니다. 단위원에서 그것은 높이가 같다는 뜻이고, 같은 높이를 갖는 점은 둘뿐이다. 이렇게 하면 삼각방정식이 각에 대한 평범한 조건으로 바뀌고, 그 조건에는 한 바퀴를 몇 번 돌았는지 세는 정수 k가 딸려 온다. 그 k에 이름을 붙이면 문제는 k마다 하나씩 있는 이차방정식들의 모임이 되고, 근의 공식으로 곧바로 풀린다. 그 다음에는 "가장 작은"이라는 말이 나머지 일을 해 준다. 근은 k가 커질수록 커지므로 각 경우에서 쓸 수 있는 가장 작은 k만 살펴보면 되고, 승자는 완전제곱수 두 개로 위치가 확정된다.
사인이 같으면 경우는 둘뿐
사인이 같으면 경우가 둘입니다.
사인값이 같다는 것은 높이가 같다는 뜻이고, 수평선은 원을 두 곳에서만 자른다.
사인이 같다는 것은 높이가 같다는 뜻이며, 수평선은 원을 두 곳에서만 자른다.
▸ 왜?
세로축에 대해 비추면 점이 옮겨지되 높이는 그대로여서, 두 번째 자리가 생긴다.
▸ 왜?
한 바퀴를 돌면 모든 점이 처음 자리로 돌아오므로, 각 자리가 끝없이 되풀이된다.
각 경우가 이차방정식이 된다
각 경우가 이차방정식이 됩니다.
몇 바퀴 돌았는지에 이름을 붙이면 풀 수 없던 식 하나가 평범한 이차방정식의 목록으로 바뀐다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variable두 모임을 모두 풀기
두 모임을 모두 풉니다.
두 모임에 공식이 하나씩 있고, 둘 다 바퀴 수 k가 커질수록 값이 커진다.
9.A-REI.B.4Identify Subproblems1보다 큰 가장 작은 근 고르기
1보다 큰 가장 작은 근을 고릅니다.
거울 경우는 반 바퀴만 가면 되므로, 한 바퀴를 다 기다려야 하는 경우보다 먼저 도착한다.
8.NS.A.2Extreme Principle근을 두 정수 사이에 가두기
두 정수 사이에 가두면 13입니다.
이웃한 두 정수를 제곱해 보면 소수점을 건드리지 않고도 제곱근의 위치가 잡힌다.
8.EE.A.2Guess And Check두 각의 사인이 같으려면 같은 각이거나 180°를 기준으로 한 거울상이어야 하는데, 여기서는 거울 경우 x² + x = 180이 먼저 도달하고 그 해는 12와 13 사이에 놓인다.
- 사인이 같으면 경우는 둘뿐
- 각 경우가 이차방정식이 된다
- 두 모임을 모두 풀기
- 1보다 큰 가장 작은 근 고르기
- 근을 두 정수 사이에 가두기