AMC 10 · 2021 · #23
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
'무례한'이라는 말은 사실 평범한 구조적 조건을 숨기고 있으므로, 먼저 그 조건을 풀어내야 한다. 합성식 p(p(x)) = 0은 언제나 쪼개진다. 안쪽 값 p(x)가 p의 근에 도달해야 하므로, 하나의 사차식이 두 개의 이차식으로 갈라진다. 두 이차식에서 실수 해가 어떻게 세 개가 나올 수 있는지 세어 보면 가능한 모양은 하나뿐이고, 그 모양에는 깔끔한 그림이 따라온다. 수평선이 포물선의 가장 낮은 점에 닿는 그림이다. 이 그림은 조건 전체를 두 근을 잇는 하나의 식으로 바꿔 준다. 그다음 두 근의 간격에 문자 하나를 붙이면, 최대로 만들려는 양이 한 변수의 이차식으로 줄어든다. 이차식의 최댓값은 완전제곱으로 바꾸면 나오므로, 미적분도 시행착오도 없이 극단의 경우가 떨어진다.
합성식을 두 이차식으로 쪼개기
합성식을 두 이차식으로 쪼갭니다.
p가 0을 내놓게 하려면 그 입력이 이미 p의 근이어야 하므로, 바깥층은 안쪽층에 어느 목표를 맞출지 알려 줄 뿐이다.
11.A-APR.B.3Identify Subproblems실수 해 세 개는 중근을 강제한다
해가 셋이라 한쪽이 중근입니다.
3은 홀수인데 이차식은 판별식이 정확히 0일 때를 빼면 짝수 개의 해를 주므로, 정확히 한쪽만 접하는 경우여야 한다.
9.A-REI.B.4Eliminate Possibilities중근은 꼭짓점에 놓인다
중근은 꼭짓점에 놓입니다.
중근이란 수평선이 포물선을 스치는 것이고, 포물선을 스칠 수 있는 곳은 가장 낮은 점뿐이다.
중근은 포물선을 스치는 수평선이며, 포물선은 꼭짓점에서만 스칠 수 있다.
▸ 왜?
중근이란 두 일차 인수가 겹친다는 뜻이므로, 곡선이 축을 가로지르지 않고 닿는다.
▸ 왜?
두 근은 언제나 꼭짓점을 중심으로 대칭으로 놓이므로, 그곳에서만 만날 수 있다.
두 근 사이의 간격에 이름 붙이기
두 근 사이 간격에 이름을 붙입니다.
접한다는 조건은 두 근이 얼마나 떨어져 있는지만 따지므로, 그 간격에 문자 하나를 붙이면 미지수 둘이 하나로 줄어든다.
9.A-CED.A.1Introduce A Variable최대로 만들고 x = 1에서 값 구하기
최대로 만들어 1을 넣으면 16분의 5입니다.
꼭짓점 꼴은 최댓값과 그것이 일어나는 지점을 한 줄에 보여 주고, 그 지점이 하나뿐이라는 사실이 바로 문제가 말한 유일성이다.
11.F-IF.C.8Extreme Principle함수를 자기 자신 위에 쌓은 방정식을 만나면 안쪽이 무엇과 같아야 하는지 물어보고, 이차식이 반드시 중근을 가져야 한다면 그 근은 포물선의 가장 밑바닥에 앉아 있다.
- 합성식을 두 이차식으로 쪼개기
- 실수 해 세 개는 중근을 강제한다
- 중근은 꼭짓점에 놓인다
- 두 근 사이의 간격에 이름 붙이기
- 최대로 만들고 x = 1에서 값 구하기