AMC 10 · 2021 · #4

학년 6 number-theory
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint
divisibility-rulesprime-numbersdigit-sumsystematic-enumeration systematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: divisibility-rules
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
여섯 자리 수가 2, 0, 2, 1, 0으로 고정된 앞자리와 모르는 일의 자리 하나로 이루어집니다. 정확히 한 가지 일의 자리에서만 이 수가 소수가 됩니다. 그 숫자를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
3
(C)
5
(D)
7
(E)
9
풀이 과정
전략 가능성 지우기

여섯 자리 수가 소수임을 정면으로 증명하려면 제곱근 이하의 모든 소수로 나누어 봐야 하는데, 이걸 다섯 번 반복하기에는 너무 느리다. 하지만 반대 방향의 작업은 훨씬 싸다. 소수가 아님을 보이려면 약수를 딱 하나만 찾아내면 된다. 도구 #3(가능성 지우기)은 이 비대칭성과, 정확히 하나만 소수라는 문제의 보장을 함께 이용한다. 네 개를 지우면 남은 하나가 답이므로 그 하나를 직접 검증할 필요가 없다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 다섯 개의 후보를 먼저 적어 두어 빠뜨리는 것이 없게 한다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)가 값싼 약수 사냥법을 공급한다. 5에 대한 일의 자리 판정, 3에 대한 각 자리 숫자 합 판정, 11에 대한 부호 교대 판정은 모두 숫자만 보고 약수를 읽어내며, 이 셋만으로 다섯 후보 중 넷이 정리된다.

1STEP 1

다섯 개의 후보 나열하기

후보는 홀수 자리뿐입니다.

A ∈ {1,3,5,7,9}에 대해 202100+A는 202101, 202103, 202105, 202107, 202109
2STEP 2

5로 끝나는 수 지우기

5로 끝나는 것을 지웁니다.

202105 = 5 × 40421
3STEP 3

3의 배수 두 개 지우기

자릿수 합으로 3의 배수를 지웁니다.

2+0+2+1+0+A = 5+A이고, 5+1 = 6, 5+7 = 12가 3의 배수이다
4STEP 4

11로 마지막 둘 가르기

11 판정이 마지막 둘을 가릅니다.

3-0+1-2+0-2 = 0 → 202103 = 11 × 18373, 반면 9-0+1-2+0-2 = 6
5STEP 5

후보가 하나만 남는다

남는 것은 9입니다.

A = 9이고, 202109는 소수이다
정답
9
문제의 보장에만 기대지 말고 202109가 정말로 소수인지 직접 확인해 보자. 만약 202109가 합성수라면 1 ＜ m ≤ n인 202109 = m × n으로 쪼개지고, 그러면 m ≤ √(202109)가 강제된다. 449² = 201601이고 450² = 202500이므로 이 한계는 m을 450 미만으로 묶어 두고, 따라서 449 이하의 소수만 확인하면 된다. 그 소수들 모두가 0이 아닌 나머지를 남기므로 약수는 존재하지 않고 202109는 소수이다. 지워낸 네 개도 다시 곱해 보면 그대로 맞는다. 202101 = 3 × 67367, 202103 = 11 × 18373, 202105 = 5 × 40421, 202107 = 3 × 67369이다. 소수인 후보는 정확히 하나이며, 이는 문제의 서술과 일치한다.
💡핵심 정리

소수임을 증명하는 일은 느리지만 소수가 아님을 보이는 일은 약수 하나면 끝난다. 그러니 객관식에서는 약수를 사냥하고 마지막까지 살아남은 후보를 답으로 삼으면 된다.

  • 다섯 개의 후보 나열하기
  • 5로 끝나는 수 지우기
  • 3의 배수 두 개 지우기
  • 11로 마지막 둘 가르기
  • 후보가 하나만 남는다

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