AMC 10 · 2021 · #12

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

divisor-sumprime-factorizationsequences-geometricfraction-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: divisor-sumprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 양의 정수에 대해 그 수의 모든 양의 약수를 더한 뒤 그 수로 나눈 값을 봅니다. 두 특정한 수에서 이 값을 구해 차를 계산하세요. 1과 그 수 자신도 약수로 셉니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{768}$

(B)

$\frac{1}{192}$

(C)

(D)

$\frac{4}{3}$

(E)

$\frac{8}{3}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

768의 약수 18개와 384의 약수 16개를 손으로 모두 적어 더하는 것은 느리고 실수하기 쉽다. 지름길은 각 수를 소인수 거듭제곱 꼴로 다시 쓰는 것이다. 두 수 모두 2의 거듭제곱 곱하기 3이므로 모든 약수는 2^a 또는 2^a × 3 꼴이고, 약수의 합 전체가 (2의 거듭제곱 덩어리) 곱하기 (1 + 3)으로 인수분해된다. 이렇게 하면 긴 덧셈 하나가 짧은 덧셈 두 개로 쪼개지고, 2의 거듭제곱들의 합은 다음 거듭제곱보다 1 작은 수가 된다. 그다음에는 두 분수의 뺄셈만 남는다. 마지막으로 f(n)을 약수의 역수들의 합으로 보는 두 번째 관점이 완전히 다른 각도에서 결과를 검증해 준다.

1STEP 1

두 수를 소인수로 다시 쓰기

두 수를 소인수로 다시 씁니다.

768 = 2⁸ · 3, 384 = 2⁷ · 3

2STEP 2

모든 약수를 한꺼번에 기술하기

모든 약수를 한꺼번에 기술합니다.

d ∣ 2⁸ · 3 ⇔ d = 2^a · 3^b, 0 ≤ a ≤ 8, b ∈ {0, 1}

3STEP 3

약수의 합을 곱으로 인수분해하기

약수의 합이 곱으로 인수분해됩니다.

σ(768) = (1 + 2 + … + 256)(1 + 3) = 511 · 4 = 2044, σ(384) = (1 + 2 + … + 128)(1 + 3) = 255 · 4 = 1020

4STEP 4

두 분수 만들기

두 분수를 만듭니다.

f(768) = 2044/768 = 511/192, f(384) = 1020/384 = 510/192

5STEP 5

분모가 같아진 분수 빼기

분모를 맞추면 차가 아주 작습니다.

f(768) - f(384) = 511/192 - 510/192 = 1/192

6STEP 6

약수의 역수로 검증하기

역수로 검산하면 192분의 1입니다.

f(n) = Σ_d ∣ n 1/d, f(768) - f(384) = 1/256 + 1/768 = 4/768 = 1/192

정답

1/192

결과는 아주 작은 양수인데, 이는 구조가 예측하는 바와 정확히 일치한다. 768의 약수 목록은 384의 약수를 모두 포함하고 두 개를 더 가지므로 차는 반드시 양수이고, 그 두 개인 256과 768은 가장 큰 약수들이므로 그 역수는 아주 작다. 이것만으로도 1, 4/3, 8/3은 계산 없이 배제된다. 수치로 보면 f(768) = 511/192은 약 2.661, f(384) = 85/32는 약 2.656으로 차이가 대략 0.005이고, 1/192은 약 0.0052이다. 함정 선택지 1/768은 늘어난 약수 중 768만 떠올리고 256을 잊었을 때 나오는 값으로, 256이 나머지 3/768을 기여한다.

💡핵심 정리

수를 2의 거듭제곱 곱하기 3으로 쓰면 약수의 합이 짧은 두 합의 곱으로 갈라지고, 그 합을 수로 나누면 약수가 역수로 바뀌므로 768은 384보다 새로 얻은 두 약수의 역수만큼만 크다.

두 수를 소인수로 다시 쓰기
모든 약수를 한꺼번에 기술하기
약수의 합을 곱으로 인수분해하기
두 분수 만들기
분모가 같아진 분수 빼기
약수의 역수로 검증하기