AMC 10 · 2021 · #14

학년 11 algebra
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In
polynomial-rootscomplex-numberspolynomial-factoringextremal-construction work-backwardsextreme-principle ↑ 선수 지식: polynomial-rootscomplex-numbers
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
실수 계수를 가진 다항식 세 개가 차수와 상수항만으로 주어집니다. 두 다항식의 곱이 세 번째와 같아지는 복소수 해의 개수를 봅니다. 가능한 모든 선택 중에서 서로 다른 해의 개수가 가장 적을 때 그 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
(E)
5
풀이 과정
전략 변수 도입하기

모르는 다항식 둘이 마주 보고 있는 등식은 다루기 어렵지만, 양변의 차는 다항식 하나이다. 그래서 S(z) = P(z)Q(z) - R(z)라고 이름 붙이고 그 서로 다른 근의 개수를 세기로 한다. 주어진 정보는 차수와 상수항뿐인데, 이 두 가지는 곱셈과 뺄셈에서 어떻게 변하는지 정확히 알 수 있으므로 S의 모습을 그대로 짚어낼 수 있다. 여기서 N의 하한이 바로 나온다. 최솟값을 확인할 때는 거꾸로 간다. 근이 한 점에 모두 겹치려면 S가 어떤 모양이어야 하는지 먼저 정하고, 그런 S가 실제로 조건을 만족하는 P, Q, R에서 나오는지 확인한다.

1STEP 1

양변의 차에 이름 붙이기

양변의 차에 이름을 붙입니다.

S(z) = P(z)Q(z) - R(z), P(z)Q(z) = R(z) ⇔ S(z) = 0
2STEP 2

S의 차수와 상수항 읽어내기

가장 큰 차수가 전체를 정합니다.

deg(PQ) = 2 + 3 = 5 ＜ 6 → deg S = 6, S(0) = 1 · 2 - 3 = -1
3STEP 3

근이 없는 경우는 불가능하다

차수가 있으니 근이 적어도 하나입니다.

deg S = 6 ≥ 1 → S 에는 복소수 근이 존재 → N ≥ 1
4STEP 4

S(0)=-1인 차수 6짜리는 무엇이든 가능하다

상수항 조건만 지키면 무엇이든 가능합니다.

P(z)=z²+1, Q(z)=z³+2, R(z)=P(z)Q(z)-S(z) → deg R = 6, R(0)=2-(-1)=3
5STEP 5

여섯 개의 근을 한 점에 겹치기

근을 한 점에 겹치면 1개입니다.

R(z)-P(z)Q(z) = (z-1)⁶ = 0 → z = 1 하나뿐 → N_min = 1
정답
1
논증의 두 축이 정확히 맞물린다. 조건을 만족하는 모든 선택에서 N ≥ 1이고, 어떤 구체적인 선택에서는 N = 1이 실제로 나오므로 최솟값은 1이며 그보다 작을 수는 없다. 예로 든 조합은 손으로 하나씩 확인해도 모두 통과한다. P(z)=z²+1은 차수 2, 상수항 1이고, Q(z)=z³+2는 차수 3, 상수항 2이며, R(z) = (z²+1)(z³+2) + (z-1)⁶ = z⁶ + … + 3은 차수 6, 상수항 3이고 모두 실수 계수이다. 상수항 조건이 장식이 아니라는 점도 눈여겨볼 만하다. 상수항 때문에 S(0) = -1 ≠ 0이 되어 z = 0은 절대 겹친 근이 될 수 없고, S(z) = -z⁶ 같은 솔깃한 모양은 금지된다. 근을 z=1로 옮기면 이 문제가 해결된다. 답이 0 바로 위의 가장 작은 선택지라는 점도, 사실상 0을 지우는 것이 전부인 문제와 잘 어울린다.
💡핵심 정리

모든 항을 한쪽으로 몰고 남은 다항식을 보면 된다. 여기서 그 다항식은 절대 상수가 될 수 없으니 근은 항상 하나 이상 있고, 여섯 개의 근을 같은 점에 포개면 그 하나가 곧 답이 된다.

  • 양변의 차에 이름 붙이기
  • S의 차수와 상수항 읽어내기
  • 근이 없는 경우는 불가능하다
  • S(0)=-1인 차수 6짜리는 무엇이든 가능하다
  • 여섯 개의 근을 한 점에 겹치기

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