AMC 10 · 2021 · #16
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
a, b, c 를 직접 훑는 것은 잘못된 쪽에서 문제를 잡는 것입니다. 삼중쌍이 수백 개인 데다 최대공약수 조건은 확인하기도 번거롭습니다. 해법은 대신 최대공약수 쪽을 훑는 것입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그것들을 x, y, z 라 부르면, 두 번째 조건이 작은 양의 정수에 대한 깔끔한 식 x+y+z=9가 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 홀수 세 개를 더해 9를 만드는 방법을 전부 적어 보면 딱 세 가지뿐입니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)이 두 번 큰일을 합니다. 홀짝 논증이 문제의 한쪽 가지를 한 줄에 없애고, 23이 소수라는 사실에 기댄 나눗셈 논증이 남은 세 모양 중 하나를 없앱니다. 두 모양만 살아남고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 각각을 짧고 독립적인 삼중쌍 찾기로 바꿔 줍니다.
세 최대공약수에 이름 붙이기
세 최대공약수에 이름을 붙입니다.
최대공약수에 이름을 붙이면, 찾는 대상이 거대한 삼중쌍 목록에서 작은 약수 몇 개짜리 목록으로 옮겨 갑니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable합이 홀수라 셋 다 홀수
합이 홀수라 셋 다 홀수입니다.
짝수는 결코 9가 될 수 없으므로, 수 하나 대입해 보지 않고도 문제의 절반이 사라집니다.
2.OA.C.3Eliminate Possibilities최대공약수가 만들 수 있는 세 모양
가능한 모양이 셋뿐입니다.
각 부분이 홀수여야 한다는 조건이 붙는 순간, 막연하던 조건이 하나씩 확인할 수 있는 세 모양으로 줄어듭니다.
6.EE.B.5Make A Systematic List소수 23이 3, 3, 3을 지움
23이 소수라 한 모양이 죽습니다.
최대공약수 두 개에 숨어 있는 수는 a, b, c 를 모두 나누어야 하고 따라서 23도 나눠야 하는데, 23은 7 이하인 최대공약수 안에 들어가기에는 너무 큽니다.
두 최대공약수 안에 숨은 수는 세 수를 모두 나누어야 하므로, 그 합도 나누어야 한다.
▸ 왜?
두 수의 공약수는 그것들을 더해 만든 것도 나눈다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 합을 나누기엔 너무 큰 소수는 어디에도 숨을 수 없다.
1, 1, 7 모양은 7, 7, 9
첫 모양이 한 세 쌍을 줍니다.
22 아래에 밀어 넣어야 하는 7의 홀수 배 두 개는 7과 7 밖에 없습니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems1, 3, 5 모양은 3, 5, 15
둘째 모양이 다른 세 쌍을 줍니다.
서로 다른 두 최대공약수에 동시에 들어 있으면 b 는 3의 배수이면서 5의 배수여야 하는데, 들어갈 만큼 작은 홀수 배수는 15 뿐입니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems서로 다른 두 값 더하기
두 값을 더하면 438입니다.
지우기에서 두 모양이 살아남았으니 값도 둘이고, 답은 그 둘의 합입니다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities홀짝부터 확인하십시오. 최대공약수 셋을 더한 값이 홀수인 9 라서 a, b, c 가 모두 홀수여야 하고, 이 사실 하나가 수백 개짜리 탐색을 손으로 끝낼 수 있는 세 경우로 줄여 줍니다.
- 세 최대공약수에 이름 붙이기
- 합이 홀수라 셋 다 홀수
- 최대공약수가 만들 수 있는 세 모양
- 소수 23이 3, 3, 3을 지움
- 1, 1, 7 모양은 7, 7, 9
- 1, 3, 5 모양은 3, 5, 15
- 서로 다른 두 값 더하기