AMC 10 · 2021 · #18

학년 9 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

recursive-sequenceexponentspattern-recognitionsequences-geometric pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: recursive-sequenceexponents

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 수열이 4분의 1에서 시작하고 각 항은 앞 항의 두 배에서 앞 항 제곱의 두 배를 뺀 값입니다. 항들이 어떤 값 하나로 수렴합니다. 항이 그 값에서 2의 1000제곱분의 1 이내로 들어오는 가장 작은 번호를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

123

(D)

329

(E)

401

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

문제는 u_k 자체를 묻지 않는다. u_k가 L에서 아직 얼마나 떨어져 있는지를 묻는다. 여기가 도구 #16(관점 바꾸기)이 들어올 자리다. 항을 쫓는 대신 남은 거리 w_k = L - u_k를 쫓는 것이다. 목표 지점은 도구 #5(패턴 찾기)가 먼저 알려 준다. 항 네 개를 적어 보면 거리가 1/4, 1/8, 1/32, 1/512로 나오는데, 모두 1/2의 거듭제곱이다. 이는 극한이 1/2이며 이 문제의 자연스러운 언어가 2의 거듭제곱임을 말해 준다. u_k = 1/2 - w_k를 대입하면 지저분한 이차 규칙이 w_k+1 = 2w_k²으로 접히고, 이어서 도구 #4(변수 도입하기)가 한 단계 더 내려간다. 지수에 이름을 붙여 w_k = 2^-a_k라 두면 제곱조차 a_k+1 = 2a_k - 1이라는 평범한 규칙으로 납작해진다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "1/2¹⁰⁰⁰ 이내"라는 문장을 두 거듭제곱 사이의 부등식으로 바꾸는데, 사실 이것은 지수 사이의 부등식이다. 마무리는 도구 #14(극단의 원리)가 한다. 지수는 계속 커지므로 조건은 한 번 켜지면 계속 켜져 있고, 따라서 가장 작은 k는 기준선을 처음 넘는 번호다.

1STEP 1

항 네 개를 적고 거리를 보기

항 네 개를 적고 거리를 봅니다.

u₀=1/4, u₁=3/8, u₂=15/32, u₃=255/512, 1/2까지의 거리는 각각 2⁻², 2⁻³, 2⁻⁵, 2⁻⁹

2STEP 2

항 대신 거리를 쫓기

항 대신 거리를 쫓습니다.

w_k = 1/2-u_k, u_k+1=2u_k(1-u_k)=1/2-2w_k² → w_k+1=2w_k², w₀=1/4

3STEP 3

거리의 지수에 이름 붙이기

거리의 지수에 이름을 붙입니다.

w_k = 2^-a_k, a₀=2, w_k+1=2(2^-a_k)² = 2¹-2a_k → a_k+1=2a_k-1

4STEP 4

지수 규칙 풀기

지수의 규칙을 풉니다.

a_k+1-1 = 2(a_k-1), a₀-1=1 → a_k-1=2^k → a_k = 2^k+1, w_k = 2^-(2^k+1)

5STEP 5

극한을 확정하고 부등식 세우기

극한을 확정하고 부등식을 세웁니다.

L=1/2, |u_k-L| = w_k = 2^-(2^k+1), 2^-(2^k+1) ≤ 2⁻¹⁰⁰⁰ 이어야 한다

6STEP 6

지수를 비교해 가장 작은 k 찾기

지수를 비교하면 10입니다.

2^-(2^k+1) ≤ 2⁻¹⁰⁰⁰ ⇔ 2^k+1 ≥ 1000 ⇔ 2^k ≥ 999; 2⁹=512 ＜ 999 ≤ 1024=2¹⁰ → k_min=10

정답

|u_k - L| = 2^-(2^k+1)을 이진법 자릿수의 언어로 읽어 보자. k단계 후 항은 1/2과 약 2^k자리까지 일치한다. 즉 맞는 자릿수가 일정량씩 늘어나는 것이 아니라 매 단계 두 배가 된다. 그러므로 1000자리에 이르는 데는 약 log₂ 1000 ≈ 10단계가 필요하고, 이것이 바로 답이다. 경계도 정확히 확인된다. k=9에서 거리는 2⁻⁵¹³으로 아직 2⁻¹⁰⁰⁰보다 훨씬 크고, k=10에서는 2⁻¹⁰²⁵로 충분히 작다. 나머지 네 선택지는 모두 수십에서 수백인데, 이는 정반대의 수렴을 가정했을 때 나오는 값이다. 즉 매 단계 이진 자릿수를 일정량씩만 번다고 생각한 경우다. 한 단계에 약 2.5자리씩이면 401 근처, 약 3자리씩이면 329 근처, 약 8자리씩이면 123 근처, 약 11자리씩이면 87 근처에 닿는다. 계산이 정직한지 마지막으로 확인하면, 일반식 u_k = 1/2-2^-(2^k+1)은 u₂ = 1/2-1/32 = 15/32, u₃ = 1/2-1/512 = 255/512을 주어 1단계에서 손으로 구한 항과 일치한다.

💡핵심 정리

수열이 극한으로 다가갈 때는 항이 아니라 남은 거리를 따라가 보자. 거리는 대개 훨씬 단순한 규칙을 따르고, 이 문제에서는 매 단계 자기 자신을 제곱해서 정확도가 매번 두 배로 늘어난다.

항 네 개를 적고 거리를 보기
항 대신 거리를 쫓기
거리의 지수에 이름 붙이기
지수 규칙 풀기
극한을 확정하고 부등식 세우기
지수를 비교해 가장 작은 k 찾기