AMC 10 · 2021 · #19

학년 10 countinggeometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

pair-countingarc-measuresystematic-enumerationcombinations-basic easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basicarc-measure

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 원에 정오각형, 정육각형, 정칠각형, 정팔각형이 모두 내접해 있습니다. 어느 두 다각형도 꼭짓점을 공유하지 않게, 그리고 어느 점에도 세 변이 지나지 않게 돌려 놓았습니다. 원 안쪽에서 서로 다른 다각형의 변이 만나는 점이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

원 하나에 다각형 넷이 겹친 그림은 눈으로 셀 수 있는 그림이 아니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 첫 칼질을 한다. 모든 교점은 서로 다른 두 다각형에서 나온 두 변이 만나는 자리이므로, 전체 개수는 두 다각형짜리 그림 여섯 개로 깔끔하게 갈라진다. 그러면 문제는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 형태가 된다. 정m각형 하나와 정n각형 하나가 만드는 교점의 개수를 한 번만 확정해 두고, 그 결과를 여섯 번 재사용하면 된다. 그 한 쌍을 다루는 데 필요한 사실은 도구 #1(그림 그리기)이 전부 알려 준다. 원의 두 현은 네 끝점이 원 둘레를 따라 번갈아 놓일 때에만 내부에서 만난다는 것이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 어느 쪽 다각형을 기준으로 셀지를 정해 준다. 큰 다각형의 변을 따라 세면 어떤 변은 교점을 갖고 어떤 변은 갖지 않아 들쭉날쭉하지만, 작은 다각형의 변을 따라 세면 완벽하게 고르고, 바로 그 고름이 한 쌍의 개수를 깔끔한 식으로 만들어 준다. 이어서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 여섯 쌍을 빠뜨리거나 겹치지 않게 훑고, 도구 #15(다르게 정리하기)가 합을 낸다. 쌍별 합계 여섯 개를 따로 더하는 대신, 각 다각형이 몇 번이나 작은 쪽이 되는지를 묻는 것이다.

1STEP 1

두 다각형짜리 그림 여섯 개로 쪼개기

두 다각형짜리 그림 여섯 개로 쪼갭니다.

전체 = Σ_쌍 (그 쌍의 교점 수), 쌍의 개수 = C(4, 2) = 6

2STEP 2

한 쌍만 보기: 호를 견주기

한 쌍에서 호를 견줍니다.

정m각형 한 변이 잘라 낸 호 = 360°/m ＞ 360°/n = 정n각형의 꼭짓점 간격

3STEP 3

두 현은 언제 안에서 만나는가

두 현이 언제 안에서 만나는지 정합니다.

AB 와 CD 가 내부에서 만난다 ⇔ C, D 중 정확히 하나가 호 AB 위에 있다

4STEP 4

작은 다각형의 변은 모두 두 번씩 잘린다

작은 쪽의 모든 변이 두 번씩 잘립니다.

정m각형의 각 변 위의 교점 수 = 2 ⟹ 쌍 (m, n) 의 교점 수 = 2m (m ＜ n)

5STEP 5

여섯 쌍을 나열하기

여섯 쌍을 모두 나열합니다.

(5,6) → 10, (5,7) → 10, (5,8) → 10, (6,7) → 12, (6,8) → 12, (7,8) → 14

6STEP 6

다시 묶어서 더하기

다시 묶어 더하면 68입니다.

2(3 · 5 + 2 · 6 + 1 · 7 + 0 · 8) = 2(15 + 12 + 7) = 2 · 34 = 68

정답

같은 68개를 이번에는 교점이 놓인 변 쪽에서 다시 세어 보자. 각 교점은 정확히 두 변 위에 있으므로, 모든 변을 따라 중복을 허용해 센 총합은 2 · 68 = 136이어야 한다. 정5각형은 세 번 작은 쪽이므로 그 변들 위에는 10 + 10 + 10 = 30개가 놓인다. 정6각형은 자신이 이끄는 쌍에서 12 + 12, 쌍 (5,6)에서 10을 받아 모두 34개다. 정7각형은 14에 10 + 12를 더해 36개다. 정8각형은 이끄는 쌍이 없고 10 + 12 + 14 = 36개를 받는다. 네 값을 더하면 30 + 34 + 36 + 36 = 136으로 정확히 요구한 값이다. 규모도 맞는다. 서로 다른 다각형에서 나온 변의 쌍은 5 · 6 + 5 · 7 + 5 · 8 + 6 · 7 + 6 · 8 + 7 · 8 = 251개이고 각 쌍은 많아야 한 번 만나므로, 68은 천장보다 넉넉히 낮으면서도 한 줌보다는 훨씬 많다. 다섯 선택지 52, 56, 60, 64, 68은 모두 2 · (어떤 합) 꼴이고 그 합이 각각 26, 28, 30, 32, 34이므로, 선택지들은 오직 누구를 작은 쪽으로 셀 것인가 하는 셈법에서만 갈린다. 선택지 (A) 52는 정확히 2(5 + 6 + 7 + 8)로, 각 다각형을 자기보다 변이 많은 다각형 수만큼이 아니라 한 번씩만 셌을 때 나오는 값이다. 올바른 셈법은 정5각형을 세 번, 정6각형을 두 번, 정7각형을 한 번 세어 합이 34가 된다.

💡핵심 정리

원의 두 현은 끝점이 둘레를 따라 번갈아 놓일 때만 안에서 만난다. 그래서 내접한 정다각형 두 개 중 변이 적은 쪽이 개수를 정한다. 그 다각형의 변은 하나하나가 정확히 두 번씩 잘린다.

두 다각형짜리 그림 여섯 개로 쪼개기
한 쌍만 보기: 호를 견주기
두 현은 언제 안에서 만나는가
작은 다각형의 변은 모두 두 번씩 잘린다
여섯 쌍을 나열하기
다시 묶어서 더하기