AMC 10 · 2021 · #21

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

complex-numberscomplex-polar-formdouble-angle-formulapolynomial-roots identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: complex-numbersdouble-angle-formula

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

각 실수마다 코사인과 사인으로 이루어진 어떤 식이 복소수 하나를 만듭니다. 0부터 한 바퀴까지의 범위에서 그 값이 0이 되는 값이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

식은 엉켜 보이지만 이미 정리가 되어 있다. 네 개의 항에는 i가 없고, 세 개의 항에는 i가 하나씩 붙어 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 공짜로 주어진 셈이다. P(x)=0은 코사인 방정식 하나와 사인 방정식 하나로 갈라지고, 둘은 같은 x에서 동시에 성립해야 한다. 두 부분 문제의 난이도 차이가 크다는 점이 바로 전략의 핵심이다. 쉬운 쪽을 도구 #15(다르게 정리하기)로 공략한다. sin x-sin 2x+sin 3x을 (sin x+sin 3x)-sin 2x으로 묶으면 두 각이 2x을 사이에 두고 같은 간격으로 놓이는데, 이것이 바로 합을 곱으로 바꾸는 공식이 필요한 상황이고, 세 항짜리 합은 두 인수의 곱으로 접힌다. 곱이 0이라는 것은 짧은 경우의 목록을 뜻하므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 [0,2π) 안의 여섯 개 각을 만들어 내고, 목록 밖에서는 어떤 x도 될 수 없음을 보장한다. 여섯 개를 빠르게 확인하기 위해 도구 #13(대수로 바꾸기)이 삼각함수를 하나의 수로 바꾼다. z=cos x+isin x이라 두면 cos 2x+isin 2x과 cos 3x+isin 3x이 z²과 z³이 되어 P가 삼차식 1+z-z²+z³이 된다. 마무리는 도구 #3(가능성 지우기)이 한다. 여섯 후보를 모두 대입해 살아남는 것이 몇 개인지 본다. 개수를 묻는 문제는 이 방식이 가장 안전하다. 모든 해를 반드시 포함하는 목록을 먼저 만들고, 그 목록의 모든 항목을 빠짐없이 확인하는 것이다.

1STEP 1

한 방정식을 두 개로 쪼개기

한 방정식을 두 개로 쪼갭니다.

P(x)=A(x)+B(x) i, 여기서 A(x)=1+cos x-cos 2x+cos 3x이고 B(x)=sin x-sin 2x+sin 3x이다. 따라서 P(x)=0 ⇔ A(x)=0 그리고 B(x)=0

2STEP 2

사인 방정식 인수분해하기

사인 방정식을 인수분해합니다.

B(x)=(sin x+sin 3x)-sin 2x=2sin 2xcos x-sin 2x=sin 2x(2cos x-1)

3STEP 3

여섯 개의 후보 각 나열하기

여섯 개의 후보 각을 나열합니다.

sin 2x(2cos x-1)=0→ sin 2x=0 또는 cos x=1/2. 0 ≤ x ＜ 2π에서 x∈{0, π/2, π, 3π/2}∪{π/3, 5π/3}

4STEP 4

하나의 수로 P 다시 쓰기

복소수 하나로 식을 다시 씁니다.

z=cos x+isin x→ z²=cos 2x+isin 2x, z³=cos 3x+isin 3x. 따라서 P(x)=1+z-z²+z³

5STEP 5

사분점 후보 네 개 확인하기

사분점 후보 넷을 확인합니다.

P=1+z-z²+z³: P(1)=2, P(i)=1+i+1-i=2, P(-1)=1-1-1-1=-2, P(-i)=1-i+1+i=2

6STEP 6

남은 둘을 확인하고 세기

남은 둘도 확인하면 0개입니다.

x=π/3: z²=z-1, z³=-1→ P=1+z-(z-1)+(-1)=1 ≠ 0. x=5π/3에서는 그 켤레인 1 ≠ 0. 후보 여섯, 생존 영, 따라서 개수는 0

정답

여섯 후보에서 나온 P의 값은 2, 2, -2, 2, 1, 1이었다. 0에 가까운 것이 하나도 없으므로, 반올림 실수 하나로 뒤집힐 만큼 아슬아슬하게 빗나간 것이 아니다. 최소 1 이상 차이가 나는, 편안한 종류의 "해 없음"이다. 구간 전체에서 |P(x)|을 훑어 봐도 결론은 같다. 최솟값이 x≈ 5.33 부근에서 약 0.96이고, 곡선은 축에 닿지 않는다. 오답 선택지들은 정확히 "중간에 멈춘 결과"에 해당한다. sin 2x=0만 풀고 끝냈다고 선언하면 4, 즉 (E)가 되고, cos x=1/2 갈래만 남기면 2, 즉 (C)가 된다. 목록의 일부만 확인하고 나머지를 잊으면 (B)나 (D)에 닿는다. 여기서 모든 오답은 결국 같은 실수 하나다. 사인 방정식이 문제의 전부인 것처럼 다룬 것이다. 그러므로 이 문제의 진짜 내용은 복소수가 0이 되려면 두 부분이 모두 사라져야 한다는 사실을 기억하는 것이다. 경계도 한 번 더 확인하자. 구간 0 ≤ x ＜ 2π은 반열린 구간이고, 끝점 후보는 x=0 하나뿐인데 이미 확인해서 탈락했으므로, 이음매에서 중복으로 세거나 빠뜨려서 개수가 달라질 일은 없다.

💡핵심 정리

복소수는 두 부분이 모두 0일 때에만 0이다. 그러니 쉬운 쪽을 풀어 짧은 용의자 목록을 만들고, 어려운 쪽으로 하나씩 판정하자. 여기서는 여섯 개가 모두 탈락하고, 정직한 답은 하나도 없다는 것이다.

한 방정식을 두 개로 쪼개기
사인 방정식 인수분해하기
여섯 개의 후보 각 나열하기
하나의 수로 P 다시 쓰기
사분점 후보 네 개 확인하기
남은 둘을 확인하고 세기