AMC 10 · 2021 · #23

학년 12 probabilitycounting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

expected-valuecombinations-basicprobability-basicpair-counting identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: expected-valuecombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1부터 30까지의 수 중에서 서로 다른 다섯 개를 고르되 모든 선택이 똑같이 나올 수 있습니다. 고른 집합 안에서 두 수가 바로 이웃한 경우가 몇 번인지 셉니다. 가능한 모든 선택에 대해 그 개수의 평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{3}$

(B)

$\frac{29}{36}$

(C)

$\frac{5}{6}$

(D)

$\frac{29}{30}$

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

142506개나 되는 부분집합을 연속한 쌍의 개수별로 분류하는 것은 경우의 수가 감당이 안 된다. 그래서 부분집합을 보는 대신 1-2, 2-3, ..., 29-30이라는 29개의 이웃 자리를 본다. 각 자리는 한 부분집합의 개수에 0 아니면 1만 보태므로, 전체 개수는 29개의 작은 개수의 합이고, 합의 평균은 평균의 합이다. 그러면 거대한 경우 나누기가 똑같이 쉬운 질문 29개로 바뀐다. 고정된 이웃 자리 하나의 두 수를 모두 뽑는 부분집합은 전체의 몇 분의 몇인가? 이 질문 하나만 답하고 29를 곱하면 끝난다.

1STEP 1

평균을 낼 대상에 이름 붙이기

평균을 낼 대상에 이름을 붙입니다.

X = 연속한 쌍의 개수, 답 = (모든 부분집합에 대한 X 의 합)/(C(30, 5))

2STEP 2

X를 29개의 예-아니오로 쪼개기

스물아홉 개의 예-아니오로 쪼갭니다.

X = Σ_i=1²⁹ X_i ⟹ X 의 평균 = Σ_i=1²⁹ (X_i 의 평균)

3STEP 3

한 자리의 평균은 곧 그 확률

한 자리의 평균은 곧 확률입니다.

X_i 의 평균 = (C(28, 3))/(C(30, 5)) = 3276/142506 = (C(5, 2))/(C(30, 2)) = 10/435 = 2/87

4STEP 4

같은 평균 29개를 더하기

같은 평균을 스물아홉 번 더하면 3분의 2입니다.

답 = 29 · 2/87 = 58/87 = 2/3

정답

2/3

평균이 1보다 작은 것은 상황에 비추어 당연하다. 30까지 넓게 퍼진 범위에서 고작 5개를 고르면 대개 서로 멀리 떨어지므로, 대부분의 부분집합에는 연속한 쌍이 아예 없고 일부만 하나를 가진다. 평균 2/3은 대략 세 집합 중 두 집합이 쌍 하나만큼을 갖는다는 뜻이다. 이 풀이의 일반 공식은 1부터 n까지에서 k개를 고를 때 (n-1) · (C(k, 2))/(C(n, 2))인데, 손으로 확인할 만큼 작은 경우에서도 통한다. 1부터 6까지에서 3개를 고르면 공식은 5 · 3/15 = 1을 예측하고, 실제로 20개의 부분집합을 모두 나열하면 연속한 쌍이 총 20개라서 평균이 정확히 1이다. 극단에서도 공식은 말이 된다. k = n이면 n-1개의 쌍이 모두 강제되는데 공식도 n-1을 내놓는다.

💡핵심 정리

평균을 한 번에 구하기 어려우면, 세는 대상을 작은 예-아니오 조각으로 쪼갠 뒤 조각 하나의 평균을 구하고 그것들을 더하면 된다.

평균을 낼 대상에 이름 붙이기
X를 29개의 예-아니오로 쪼개기
한 자리의 평균은 곧 그 확률
같은 평균 29개를 더하기

평균을 낼 대상에 이름 붙이기

X를 29개의 예-아니오로 쪼개기

한 자리의 평균은 곧 그 확률

같은 평균 29개를 더하기

비슷한 유형 더 풀어보기