AMC 10 · 2021 · #25
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R(n)과 R(n+1)을 각각 계산해서 비교하는 것은 가장 먼저 떠오르는 방법이지만 좋은 방법은 아니다. 일을 두 배로 하면서, 두 입력이 정확히 1만큼만 다르다는 사실을 버리기 때문이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 합 자체가 아니라 변화량 R(n+1) - R(n)만 쫓으라고 말한다. 그 변화량은 나누는 수마다 하나씩, 서로 독립인 아홉 조각으로 갈라지고, 각 조각은 도구 #5(패턴 찾기)의 관찰 한 줄로 끝난다. 1을 더하면 나머지는 1만큼 올라가지만, 마침 배수에 닿는 순간에는 0까지 떨어진다는 것이다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 아홉 조각을 하나의 깔끔한 식으로 묶는데, 그 식에 들어가는 재료는 2부터 10까지 중 n+1을 나누는 수들의 목록뿐이다. 여기서부터는 작은 집합에 대한 산수다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 합이 9가 되는 {2,3,…,10}의 부분집합을 모두 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 어떤 수의 약수 목록도 될 수 없는 것들을 걸러 내고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 살아남은 몇 개를 두 자리 범위에서 점검한다.
합이 아니라 변화량을 쫓기
합이 아니라 변화량을 쫓습니다.
두 합이 같다는 것은 그 차가 0이라는 것과 정확히 같은 말이고, 합의 차는 짝이 맞는 항끼리 하나씩 살펴볼 수 있다.
6.EE.A.2Change Focus Count The Complement1을 더하면 나머지는 어떻게 되나
1을 더하면 나머지가 둘 중 하나로 바뀝니다.
나머지는 마지막 배수에서 몇 걸음 지나왔는지를 세는 값이라, 다음 배수에 닿아 0으로 초기화될 때까지 한 걸음씩 올라간다.
나머지는 마지막 배수를 지난 걸음을 세므로, 매번 하나씩 오르다가 0으로 되돌아간다.
▸ 왜?
나눗셈은 몫 하나와 나누는 수보다 작은 나머지 하나를 주며, 1을 더하면 그 나머지가 밀린다.
▸ 왜?
나머지가 나누는 수에 닿으면 처음으로 돌아가므로, 그 주기로 무늬가 되풀이된다.
아홉 개의 변화량 더하기
아홉 개의 변화량을 더합니다.
어디서나 평범한 경우를 가정해 두고 배수인 자리에서만 벌점을 치르면 된다. 나누는 수 k의 벌점은 바로 k 자신이다.
6.EE.A.3Convert To Algebra합이 9인 부분집합 모두 적기
합이 9가 되는 부분집합을 나열합니다.
고르는 개수 순으로 탐색을 정리하면 금방 끝난다. 작은 수 네 개만 모아도 이미 목표를 넘어서기 때문이다.
4.OA.B.4Make A Systematic List대부분의 집합은 불가능하다
대부분은 불가능합니다.
약수 목록은 수를 마음대로 골라 만들 수 있는 것이 아니다. 약수는 저마다 자기 약수를 끌고 오므로 대부분의 목록은 실제로 나타날 수 없다.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities14의 배수 걸러내기
배수를 걸러내면 2개가 남습니다.
약수 목록이 확정되고 나면 남는 것은 다른 작은 인수를 하나도 건드리지 않은 14의 배수들뿐이다.
6.NS.B.2Guess And Checkn에서의 값과 n+1에서의 값을 비교하는 문제라면 둘 다 계산하지 말고 무엇이 변하는지만 계산하자. 1을 더하면 나머지는 모두 한 칸씩 올라가지만, 배수에 닿는 자리에서만 0으로 떨어진다.
- 합이 아니라 변화량을 쫓기
- 1을 더하면 나머지는 어떻게 되나
- 아홉 개의 변화량 더하기
- 합이 9인 부분집합 모두 적기
- 대부분의 집합은 불가능하다
- 14의 배수 걸러내기