AMC 10 · 2021 · #6
학년 9 number-theory답을 골라 클릭하세요.
16383 이라는 다섯 자리 숫자로만 보면 아무 실마리가 없습니다. 그대로 나누어 보며 인수분해하려면 73 까지의 소수를 전부 시험해야 합니다. 그래서 첫 수는 도구 #15(다르게 정리하기)입니다. 다섯 자리 수로 읽기를 멈추고 2¹⁴ - 1로 읽습니다. 그 형태는 문제가 이미 건네준 것입니다. 여기서 한 번 더 128² - 1로 바꾸면 제곱의 차가 되어 곧바로 인수분해됩니다. 그다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 차례입니다. 쪼개서 나온 두 인수를 각각 따로 소수까지 내려야 어느 소수가 가장 큰지 알 수 있습니다. 마지막 빈틈은 도구 #6(추측하고 확인하기)이 메웁니다. 가장 큰 인수가 정말 소수인지 확인하는 데 필요한 짧은 소수 목록만 시험하면 됩니다.
수를 거듭제곱으로 읽기
수를 거듭제곱 빼기 1로 읽습니다.
문제가 이웃 수의 정체를 알려 줬으니, 대상을 처음부터 설명하지 말고 그 이웃에 빗대어 설명한다.
6.EE.A.1Organize Information In More Ways거듭제곱을 제곱수로 바꾸기
지수가 짝수라 제곱수가 됩니다.
짝수 지수는 숨어 있는 제곱수이고, 제곱수에서 1을 뺀 꼴은 쪼갤 줄 아는 모양이다.
8.EE.A.1Organize Information In More Ways제곱의 차로 쪼개기
제곱의 차로 쪼갭니다.
완전제곱수보다 1 작은 수는 결코 소수가 아니다 — 언제나 그 제곱근 양옆의 두 수를 곱한 값이다.
완전제곱수보다 1 작은 수는 결코 소수가 아니다. 언제나 그 근의 양옆 두 수를 곱한 것이다.
▸ 왜?
두 제곱의 차는 두 수의 합에 그 차를 곱한 것이다.
▸ 왜?
1보다 큰 인수를 둘 지닌 수는 1과 자기 자신 말고도 약수를 지니므로 소수일 수 없다.
합성수 인수를 더 쪼개기
합성수 인수를 더 쪼갭니다.
인수 쌍은 양쪽 모두 소수까지 내려가야 비로소 쓸모가 있다.
4.OA.B.4Identify Subproblems127이 소수임을 확인하기
남은 인수가 소수인지 확인합니다.
소수임을 보이려면 제곱근 이하의 소수만 확인하면 된다 — 그보다 크면 짝이 되는 인수가 이미 앞에서 걸렸을 것이다.
4.OA.B.4Guess And Check가장 큰 소수의 자릿수 더하기
자릿수를 더하면 10입니다.
마지막 단계는 방금 푼 것과 다른 질문이다 — 물어본 것, 즉 자릿수 합을 답해야 한다.
2.NBT.A.1Identify Subproblems어떤 수가 완전제곱수 바로 옆에 있다면 그 제곱수에서 1을 뺀 꼴로 쓰세요. a² - 1은 언제나 (a-1)(a+1)로 갈라지므로, 긴 인수 찾기가 한 줄로 끝납니다.
- 수를 거듭제곱으로 읽기
- 거듭제곱을 제곱수로 바꾸기
- 제곱의 차로 쪼개기
- 합성수 인수를 더 쪼개기
- 127이 소수임을 확인하기
- 가장 큰 소수의 자릿수 더하기