AMC 10 · 2021 · #7

학년 9 algebra

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 정수를 어떤 순환하는 식에 넣습니다. 다섯 개의 조건이 제시됩니다. 그 조건만으로 식의 값이 반드시 1이 되게 하는 것을 고르세요. 운 좋은 값 하나가 아니라 조건을 만족하는 모든 정수 세 쌍에서 그래야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$x>y \text{ and } y=z$

(B)

$x=y-1 \text{ and } y=z-1$

(C)

$x=z+1 \text{ and } y=x+1$

(D)

$x=z \text{ and } y-1=x$

(E)

x+y+z=1

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

다섯 조건을 x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)에 하나씩 대입하는 것은 지저분한 계산 다섯 번이고, 살아남은 조건에 대해서는 대입 한 번으로 아무것도 증명되지 않습니다. 충분조건은 무한히 많은 세 쌍에서 성립해야 하기 때문입니다. 그래서 첫 수는 도구 #15(다르게 정리하기)입니다. 식을 전개하고 2를 곱하면 (x-y)²+(y-z)²+(z-x)²로 접힙니다. 이 한 번의 다시 쓰기가 문제 전체를 세 수 사이의 간격에 대한 이야기로 바꿉니다. 이어서 도구 #4(변수 도입하기)로 그 간격들에 이름을 붙이면, 간격들이 언제나 지키는 숨은 제약이 드러납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 이론을 마무리합니다. 정수 범위에서 세 제곱수의 합이 2가 되는 방법은 단 하나뿐이므로, 답이 되는 세 쌍의 모양이 완전히 밝혀집니다. 그 모양을 손에 쥐고 나면 도구 #3(가능성 지우기)이 각 선택지를 대수 계산이 아니라 간격 확인 한 줄로 바꿔 줍니다.

1STEP 1

무엇을 증명해야 하는지 정하기

무엇을 증명해야 하는지 정합니다.

조건 ⟹ x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)=1 조건을 만족하는 모든 정수 세 쌍에 대해

2STEP 2

순환하는 식 전개하기

순환하는 식을 전개합니다.

x(x-y)+y(y-z)+z(z-x) = x² - xy + y² - yz + z² - zx = x²+y²+z²-xy-yz-zx

3STEP 3

2를 곱하면 제곱이 나타난다

두 배 하면 제곱의 합이 나타납니다.

2(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = (x-y)²+(y-z)²+(z-x)², 따라서 등식은 (x-y)²+(y-z)²+(z-x)² = 2

4STEP 4

세 간격에 이름 붙이기

세 간격에 이름을 붙입니다.

a=x-y, b=y-z, c=z-x ⟹ a+b+c=0 은 항상 성립, 그리고 등식은 a²+b²+c²=2를 요구

5STEP 5

가능한 간격 패턴은 하나뿐

가능한 간격 패턴은 하나뿐입니다.

a²+b²+c²=2 ⟹ {a²,b²,c²}={0,1,1} ⟹ {a,b,c}={0,1,-1}

6STEP 6

느슨한 두 조건 지우기

반례로 느슨한 조건을 지웁니다.

(x,y,z)=(5,0,0): 5 · 5 + 0 · 0 + 0 ·(-5) = 25 ≠ 1; (x,y,z)=(3,-1,-1): 3 · 4 + (-1) · 0 + (-1)(-4) = 16 ≠ 1

7STEP 7

남은 세 조건의 간격 재기

남은 조건은 두 변수가 같고 하나가 하나 큰 것입니다.

(B) (-1,-1,2)→ 6→ 3; (C) (-1,2,-1)→ 6→ 3; (D) (-1,1,0)→ 2→ 1 t(t-(t+1))+(t+1)((t+1)-t)+t(t-t) = -t + (t+1) + 0 = 1 → (D)

정답

x=z and y-1=x

선택지 (D)는 양수와 음수 모두에서 구체적으로 확인됩니다. x=z=4, y=5이면 4(4-5)+5(5-4)+4(4-4) = -4+5+0 = 1입니다. x=z=-2, y=-1이면 -2(-2+1)+(-1)(-1+2)+(-2)(-2+2) = 2-1+0 = 1입니다. 제곱의 합으로 바꾼 것도 첫 번째 세 쌍에서 수치로 맞습니다. 간격은 -1, 1, 0이고 제곱의 합은 2 이며 그 절반이 1입니다. 탈락한 선택지들은 서로 다른 두 방식으로 실패하는데, 이는 분석이 우연이 아니라 실제로 작동했다는 좋은 신호입니다. (A)와 (E)는 간격 하나를 제한 없이 열어 두어 실패합니다. 각각 무한히 많은 세 쌍에서 참이지만 그중 일부만 등식을 만족하며, 특히 (A)는 x=y+1 일 때는 실제로 성립하므로 더 날카로운 함정입니다. (B)와 (C)는 다른 방식으로 실패합니다. 이 둘은 너무 뻣뻣해서 연속한 세 정수를 강제하고, 그 결과 식의 값이 매번 상수 3이 됩니다. 언제나 3을 내놓는 조건은 아슬아슬한 오답이 아니라 깔끔한 탈락입니다.

💡핵심 정리

식이 변수들 사이의 차이에만 의존한다면, 그 차이들의 제곱의 합으로 다시 쓰세요. 합이 작으면 가능한 간격은 몇 가지뿐이고, 그러면 각 선택지는 계산할 대상이 아니라 눈으로 읽을 대상이 됩니다.

무엇을 증명해야 하는지 정하기
순환하는 식 전개하기
2를 곱하면 제곱이 나타난다
세 간격에 이름 붙이기
가능한 간격 패턴은 하나뿐
느슨한 두 조건 지우기
남은 세 조건의 간격 재기