AMC 10 · 2022 · #10
학년 7 counting답을 골라 클릭하세요.
도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 질문을 다시 짭니다: "14 개를 2 배 규칙으로 짝짓기" 대신 먼저 더 쉬운 구조 질문 "큰 수 둘이 한 쌍이 될 수 있나?" 를 묻기. 답이 "아니오" (1단계에서 확인)이면 문제는 L = {1, …, 7}과 G = {8, …, 14} 사이의 일대일 대응으로 축소돼 탐색 공간이 반으로 줄어듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열)로 각 a ∈ L 의 합법 짝 b 목록을 표로 만듭니다. 도구 #5(패턴)로 가장 제약이 심한 a 부터 짝을 배정하고 곱셈 원리로 합산. 도구 #16(관점 바꾸기)은 점검 각도: 마지막 남은 작은 a 들(a ≤ 4)은 제약이 모두 자동 충족되어 4! 가 한 덩어리로 떨어집니다. 도구 #3으로 최종 정수를 선택지와 매칭.
작은 쪽과 큰 쪽 나누기
작은 쪽 일곱이 아래 절반이어야 합니다.
6학년 수 비교: 2x 와 가능한 최대 y 를 비교만 해도 G 내부 쌍을 한 번에 배제.
작은 값의 두 배를 가장 큰 짝과 견주면 무리 전체가 한꺼번에 지워진다.
▸ 왜?
가장 큰 짝조차 미치지 못하면, 그보다 작은 짝은 모두 미치지 못한다.
▸ 왜?
후보가 겹치지 않는 무리로 갈리므로, 각 무리를 따로 정리할 수 있다.
짝 후보 표 만들기
각 수의 짝 후보를 적습니다.
줄 별로 짝 후보를 나열하면 제약 구조가 한눈에 보이고, 병목은 L 의 꼬리 쪽에 있음을 파악.
6.NS.C.7Make A Systematic List제약이 심한 것부터
제약이 심한 셋을 먼저 짝지웁니다.
빡빡한 것부터 배정하면 이후 카운트가 명확해짐 — 7학년 복합 사건의 조직적 나열.
7.SP.C.8Look For A Pattern남은 넷은 자유
남은 넷은 어떤 순서로도 짝지을 수 있습니다.
도구 #16 관점: 개별 제약을 추적하는 대신 "모두 자동 충족" 임을 알아채면 자유도 만점 — 4! 가 한 덩어리로 떨어짐.
7.SP.C.8Change Focus Count The Complement곱하기
곱하면 144입니다.
7학년 기본 셈: 독립 단계마다 선택 수를 곱한다.
7.SP.C.8Look For A Pattern보기와 맞추기
보기와 정확히 맞습니다.
마지막 객관식 비교.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities이 AMC 12 문제는 사실 7학년 때 배운 조직적 나열 세기만 알면 풀 수 있어요! 큰 수 8 ~ 14 끼리는 절대 같은 쌍이 될 수 없다는 걸 먼저 알면 문제는 깔끔한 일대일 대응이 돼요. 가장 빡빡한 것부터 짝짓고(7은 14와, 그다음 6, 5), 남은 작은 수 넷은 자유로워 1 × 2 × 3 × 4! = 144 가지가 나와요.