AMC 10 · 2022 · #11

학년 11 algebra
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery
logarithm-propertiesabsolute-valuecaseworkexponents convert-to-algebracaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-properties
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
이 문제의 모든 양이 하나의 수직선 위의 점입니다. 어떤 로그값이 다른 한 점에서, 또 다른 두 점 사이 거리의 정확히 두 배만큼 떨어져 있어야 합니다. 그렇게 되는 실수를 모두 찾아 곱하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
10
(B)
18
(C)
25
(D)
36
(E)
81
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

문장은 점과 거리라는 기하의 말로 되어 있지만 무대는 수직선이고, 수직선 위의 거리는 차의 절댓값이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 이 문장 전체를 절댓값 방정식 하나로 옮겨 준다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 나눈다. 오른쪽 변에는 x가 없어 그냥 고정된 수이므로 로그 법칙으로 그것부터 따로 계산한다. 그 수를 알고 나면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 절댓값을 정직하게 처리한다. log₆ 9보다 위쪽에 하나, 아래쪽에 하나, 둘 중 어느 것도 버려서는 안 된다. 마지막으로 문제가 묻는 것은 각각의 근이 아니라 곱이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)이 근 자체 대신 두 로그의 합을 바라보게 한다. 답은 그 합에서 곧바로 떨어진다.

1STEP 1

두 거리를 절댓값으로 옮기기

두 거리를 절댓값으로 씁니다.

|log₆ x - log₆ 9| = 2|log₆ 10 - 1|, x ＞ 0
2STEP 2

오른쪽 거리를 먼저 재기

오른쪽 거리를 먼저 하나의 로그로 정리합니다.

2|log₆ 10 - log₆ 6| = 2log₆ 10/6 = 2log₆ 5/3 = log₆(5/3)² = log₆ 25/9
3STEP 3

중심의 양쪽을 모두 적기

중심의 양쪽을 모두 적습니다.

log₆ x = log₆ 9 ± log₆ 25/9 ⟹ log₆ x = log₆ 25 또는 log₆ x = log₆ 81/25 ⟹ x = 25 또는 x = 81/25
4STEP 4

곱하면 분수가 사라지는 이유

곱하면 분수가 지워져 81입니다.

25 · 81/25 = 81; log₆ x₁ + log₆ x₂ = (log₆ 9 + d) + (log₆ 9 - d) = 2log₆ 9 = log₆ 81 ⟹ x₁ x₂ = 81 → (E)
정답
81
두 근을 수치로 확인해 보자. log₆ 10 ≈ 1.2851이므로 오른쪽 거리는 2(1.2851 - 1) = 0.5702다. 또 log₆ 9 ≈ 1.2263이다. x = 25일 때 log₆ 25 ≈ 1.7965이고 1.7965 - 1.2263 = 0.5702로 맞아떨어진다. x = 81/25 = 3.24일 때는 log₆ 3.24 ≈ 0.6561이고 1.2263 - 0.6561 = 0.5702로 역시 맞는다. 두 근 모두 양수여서 로그가 정의되고, 25 · 3.24 = 81이 선택지 (E)를 확인해 준다. 오답 선택지는 각각 특정한 실수와 짝을 이룬다. (C) 25는 멀리 있는 근만 찾고 가까운 근 81/25을 빠뜨렸을 때 나온다. (D) 36 = 6²은 가운데 값 9 대신 밑 6을 제곱한 결과다. (B) 18 = 2 · 9는 로그를 두 배 하는 대신 가운데 값을 그대로 두 배 한 것이다. (A) 10은 문제 안의 10을 그대로 옮겨 적은 것일 뿐이다. log₆ 9를 중심으로 한 두 근의 대칭성과 맞는 값은 81 = 9²뿐이다.
💡핵심 정리

로그 사이의 거리도 결국 로그 하나이고, log₆ 9의 위아래로 똑같이 떨어진 두 점은 언제나 곱해서 9²이 된다.

  • 두 거리를 절댓값으로 옮기기
  • 오른쪽 거리를 먼저 재기
  • 중심의 양쪽을 모두 적기
  • 곱하면 분수가 사라지는 이유

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