AMC 10 · 2022 · #14

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

logarithm-propertiessymmetric-polynomialsexponentsquadratic-equations convert-to-algebraidentify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: logarithm-properties

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

상용로그로 어떤 수를 조립합니다. 두 로그값을 각각 세제곱해 더한 뒤 다른 두 로그값의 곱을 더합니다. 전체 값을 정확히 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{2}$

(B)

$\frac{7}{4}$

(C)

(D)

$\frac{9}{4}$

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

계산기를 집으려는 충동이 먼저 들지만 그 충동은 틀렸습니다. 여기 나오는 네 로그는 모두 무리수인데 선택지 다섯 개는 전부 정확한 유리수입니다. 그러니 이 문제는 계산을 묻는 것이 아니라, 조각들은 지저분해도 어떤 조합은 깔끔해진다는 사실을 묻고 있습니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 앞장서는데, 두 번 나섭니다. 먼저 a=log 5, b=log 20이라 이름 붙입니다. 이 둘은 따로 알 필요가 전혀 없고 오직 합만 중요한데, 그 합이 정확히 2이기 때문입니다. 그다음 t=log 2라 이름 붙입니다. 5, 20, 8, 0.25는 모두 2와 10이 모습만 바꾼 것이라, 글자 하나면 문제 전체가 보통의 대수 문제로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 시작에서 정리를 맡습니다. 두 세제곱 항과 홀로 있는 곱 항은 따르는 법칙이 다르므로 따로 다루고 맨 마지막에만 더합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 a+b만으로 a³+b³에 닿게 해 주는 항등식을 가져옵니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 중간의 고쳐 쓰기를 맡습니다. 5=10/2, 20=2 · 10, 8=2³, 0.25=2⁻²로 바꾸는 순간, 이 문제는 로그 문제이기를 멈추고 글자 하나에 대한 이차식 문제가 됩니다.

1STEP 1

성질이 다른 두 덩어리로 쪼개기

성질이 다른 두 덩어리로 쪼갭니다.

(log 5)³+(log 20)³₁부: 세제곱 두 개 + (log 8)(log 0.25)₂부: 곱 하나

2STEP 2

두 로그의 합은 정확히 2

두 로그의 합이 정확히 2입니다.

a=log 5, b=log 20, a+b=log 5+log 20=log(5 · 20)=log 100=2

3STEP 3

합을 세제곱한 뒤 보정하기

합을 세제곱한 뒤 보정합니다.

a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)=2³-3ab · 2=8-6ab

4STEP 4

모든 것을 log 2로 고쳐 쓰기

모든 것을 하나의 로그로 고쳐 씁니다.

t=log 2: log 5=1-t, log 20=1+t ⟹ ab=(1-t)(1+t)=1-t². log 8=log 2³=3t, log 0.25=log 2⁻²=-2t ⟹ (log 8)(log 0.25)=(3t)(-2t)=-6t²

5STEP 5

두 부분을 더하고 t가 사라지는 것 보기

더하면 문자가 사라져 2가 남습니다.

(2+6t²)+(-6t²)=2 (C)

정답

수로 확인해 봅시다. log 2≈ 0.30103이므로 log 5≈ 0.69897, log 20≈ 1.30103입니다. 세제곱은 각각 0.69897³≈ 0.34149, 1.30103³≈ 2.20223이고 합은 약 2.54372입니다. 한편 log 8≈ 0.90309, log 0.25≈ -0.60206이고 그 곱은 약 -0.54369입니다. 총합은 약 2.00003이며 남는 아주 작은 값은 반올림 때문입니다. 넉넉한 여유로 (C) 2에 내려앉습니다. 가장 가까운 이웃인 (B) 7/4=1.75와 (D) 9/4=2.25는 각각 0.25만큼 떨어져 있어 어떤 반올림 오차보다도 훨씬 멉니다. 수를 전혀 쓰지 않는 검산도 있습니다. 선택지는 모두 유리수인데 문제에 나오는 로그는 모두 무리수이므로, 무리수 부분은 애초에 반드시 상쇄될 수밖에 없었습니다. 6t²과 -6t²이 만나는 장면은 그 요구가 지켜지는 순간이고, 대수가 의도대로 흘렀다는 증거입니다. 함정 하나는 이름을 붙여 둘 만합니다. log 0.25=-2t의 음의 부호를 빠뜨리면 마지막 항이 +6t²이 되어 2+12t²≈ 3.09가 나오는데, 이는 (E) 3처럼 보일 만큼 가깝습니다. 그 부호는 사소한 것이 아니라 이 문제가 성립하는 이유 그 자체입니다.

💡핵심 정리

세제곱을 하기 전에 로그 안의 수들을 곱해 보세요. 여기서는 5 × 20=100 덕분에 두 로그의 합이 정확히 2가 되고, 나머지 항은 남은 찌꺼기가 상쇄되도록 만들어져 있습니다.

성질이 다른 두 덩어리로 쪼개기
두 로그의 합은 정확히 2
합을 세제곱한 뒤 보정하기
모든 것을 log 2로 고쳐 쓰기
두 부분을 더하고 t가 사라지는 것 보기

성질이 다른 두 덩어리로 쪼개기

두 로그의 합은 정확히 2

합을 세제곱한 뒤 보정하기

모든 것을 log 2로 고쳐 쓰기

두 부분을 더하고 t가 사라지는 것 보기

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