AMC 10 · 2022 · #15
학년 8 geometry-3d polynomial-rootsvieta-formulasvolume-rectangular-prism identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: vieta-formulas
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 삼차식의 세 근이 직육면체의 세 모서리 길이입니다. 각 모서리를 2씩 늘립니다. 새 직육면체의 부피를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{24}{5}$
(B)
$\frac{42}{5}$
(C)
$\frac{81}{5}$
(D)
30
(E)
48
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
두 개의 깔끔한 부분 문제: (a) (a+2)(b+2)(c+2)를 대칭합으로 전개하기, (b) 그 대칭합 값을 비에타 공식으로 다항식 계수에서 곧장 읽어내기. 실제로 근을 구할 필요가 없습니다 — 새 부피는 오직 a+b+c, ab+bc+ca, abc 에만 의존하고, 이 셋은 비에타가 공짜로 알려줍니다. 도구 #7이 쪼개기 구조를 만들고, 도구 #13이 근을 직접 다루지 않고 대수적으로 처리하게 해 줍니다.
1STEP 1
새 부피 전개하기
전개하면 대칭식만 나타납니다.
(a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8
세 일차식의 곱을 전개하면 대칭합 항들로만 갈라집니다 — 비에타가 활약할 자리.
6.EE.A.3Identify Subproblems2STEP 2
계수에서 값 읽기
근을 구하지 않고 계수에서 읽습니다.
a+b+c = 39/10, ab+bc+ca = 29/10, abc = 6/10
비에타는 계수를 근의 합으로 바꿔 줍니다 — 근을 직접 풀 필요가 없습니다.
계수가 근의 합과 곱을 곧바로 내주므로, 근을 찾을 필요가 없다.
▸ 왜?
다항식의 계수는 정확히 근의 그런 대칭적인 조합을 담고 있다.
이차식의 계수가 두 근의 합과 곱을 담고 있다인수분해된 꼴을 전개하면 계수가 두 근의 합과 곱으로 이루어짐이 드러나므로, 근을 구하지 않고도 근의 합이나 곱을 읽어 낼 수 있다.
▸ 왜?
새 곱을 펼치면 오직 그 같은 조합만 등장하는 조각으로 갈라진다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
3STEP 3
대입해서 계산하기
대입하면 부피가 나옵니다.
V = 6/10 + 2 · 29/10 + 4 · 39/10 + 8 = (6 + 58 + 156 + 80)/10 = 300/10 = 30
공통분모 10으로 네 분수를 한 번에 더합니다.
5.NF.A.1Identify Subproblems4STEP 4
보기와 맞추기
부피는 30입니다.
V = 30 → (D)
계산값을 선택지와 맞추기.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities정답
30
대입 트릭으로 교차 확인: P(x) = 10(x-a)(x-b)(x-c) 이므로 P(-2) = 10(-2-a)(-2-b)(-2-c) = -10(a+2)(b+2)(c+2). 계산하면 P(-2) = 10(-8) - 39(4) + 29(-2) - 6 = -80 - 156 - 58 - 6 = -300. 따라서 (a+2)(b+2)(c+2) = -P(-2)/10 = 300/10 = 30 — (D)와 일치. 규모도 그럴듯합니다: abc = 0.6 정도이고 각 모서리에 +2가 더해지므로 지배 항은 4(a+b+c) + 8 = 4 · 3.9 + 8 = 23.6, 나머지 보정 항이 약 6.4로 총합이 30 부근.
💡핵심 정리
세 근을 따로 구할 필요가 없습니다 — 비에타가 합·쌍곱합·곱을 계수에서 곧장 줍니다. (a+2)(b+2)(c+2) = abc + 2(ab+bc+ca) + 4(a+b+c) + 8로 전개하면 그 세 값만 들어가고, 대입하면 6/10 + 58/10 + 156/10 + 80/10 = 30 — 답은 (D).