AMC 10 · 2022 · #25
학년 10 geometry-2dnumber-theory답을 골라 클릭하세요.
도구 #1(그림 그리기): 선분에 두 축 조각을 더하면 직각변이 a, b 이고 빗변이 c 인 직각삼각형이 닫히며, 원은 세 변에 모두 접합니다. 도구 #15(다르게 정리하기): 한 원이 그 삼각형의 세 변 직선에 모두 접하는 방식은 정확히 두 가지 — 내접원, 그리고 직각의 대각에 있는 방접원 — 이고 둘 다 세어야 합니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 핵심: 각 배치가 a, b, c, r 사이의 일차 관계를 주고, 이를 c² = a² + b²에 넣으면 두 경우가 하나의 인수분해 식 (a - 2r)(b - 2r) = 2r²로 합쳐집니다. 그 뒤 도구 #2(빠짐없이 나열)로 "선분 세기" 가 "2r²의 약수 쌍 세기" 로 바뀌고, 도구 #6(추측하고 확인)으로 r = 1, 2, 3, … 을 개수가 14에 닿을 때까지 훑고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 최종 비를 다섯 선택지와 대조합니다.
직각삼각형으로 닫기
선분을 직각삼각형으로 닫습니다.
원은 이미 두 축에 공짜로 접해 있으므로, 새로운 조건은 기울어진 변에도 접한다는 것 하나뿐입니다.
10.G-GPE.B.4Draw A Diagram원이 놓이는 두 방식
원이 안쪽 또는 바깥쪽에 놓입니다.
방접원 경우를 놓치는 것이 이 문제의 함정입니다 — 최종 목록에서 가장 짧은 선분이 내접원이 아니라 바로 그 쪽에서 나옵니다.
10.G-C.A.3Organize Information In More Ways피타고라스에 넣기
두 경우가 같은 식이 됩니다.
제곱이 두 경우의 부호 차이를 지워 버려서, 두 그림이 하나의 식으로 합쳐집니다.
9.A-CED.A.2Convert To Algebra인수분해 트릭 쓰기
인수분해하면 약수 문제가 됩니다.
빠진 모서리 항 하나를 더해 주면 흩어진 네 항이 두 인수의 깔끔한 곱으로 접힙니다.
빠진 구석 항을 더하면 흩어져 있던 식이 두 인수의 깔끔한 곱이 된다.
▸ 왜?
두 괄호의 곱을 펼치면 각 항이 다른 쪽에 퍼지며, 그 고쳐 쓰기는 그것을 되돌린다.
▸ 왜?
값이 정해진 곱이 되고 나면, 가능성은 정확히 그 약수의 짝들이다.
첫째 무리 세기
두 인수가 양수인 경우를 셉니다.
접선을 세는 문제가 어느새 약수를 세는 문제로 바뀌었습니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List둘째 무리 세기
두 인수가 음수인 경우도 셉니다.
음수 쪽은 r ＜ u ＜ 2r 이라는 좁은 띠에서만 살아남기 때문에 놓치기 쉽습니다.
7.EE.B.4Make A Systematic List반지름 올려 가기
개수가 열넷에 닿을 때까지 올립니다.
72가 약수를 충분히 많이 가진 첫 2r²입니다 — 6이 제곱했을 때 소인수 거듭제곱이 여러 개 생기는 첫 반지름이기 때문입니다.
4.OA.B.4Guess And Check양 끝 길이 찾기
가장 짧은 것과 가장 긴 것을 찾습니다.
작디작은 3-4-5 삼각형과 커다란 13-84-85 삼각형이 반지름 6 인 똑같은 원을 공유합니다.
8.G.B.7Make A Systematic List비 구하기
비는 17입니다.
두 극단 모두 같은 원을 공유하는 직각삼각형의 빗변이므로, 비는 그냥 85를 5로 나눈 값입니다.
6.RP.A.1Eliminate Possibilities중심이 (r, r)이고 반지름이 r 인 원은 두 축을 감싸 안으므로, 접선분 하나하나가 그 원을 둘러싼 직각삼각형을 닫습니다 — 안쪽의 내접원이거나 직각 바깥쪽의 방접원이거나. 두 경우 모두 같은 식 (a - 2r)(b - 2r) = 2r²를 주므로 선분 세기는 결국 2r²의 약수 세기이고, 14 개가 처음 나오는 반지름은 r = 6, 답은 85/5 = 17입니다.
- 선분을 직각삼각형으로 닫기
- 원이 놓일 수 있는 두 가지 방식
- 두 경우를 피타고라스에 넣기
- SFFT 로 인수분해
- 첫째 무리: 두 인수가 모두 양수
- 둘째 무리: 두 인수가 모두 음수
- 개수가 14에 닿을 때까지 r 을 올리기
- r = 6 에서 14 개를 나열
- 비를 구하기