AMC 10 · 2022 · #4

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

lcmgcdprime-factorizationdigit-sum systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: prime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 양의 정수가 두 조건을 만족합니다. 그 수와 18의 최소공배수가 180이고, 그 수와 45의 최대공약수가 15입니다. 그 수를 찾아 자릿수를 모두 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

두 조건이 각각 n 의 후보를 짧은 목록으로 좁혀줍니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) — 최대공약수 조건에서 15 ∣ n 이 나오므로 180 이하 15의 배수를 순서대로 적어두면 그게 후보 전체. 도구 #3(가능성 지우기) — 각 후보를 두 원래 조건에 통과시켜 살아남는 하나를 골라냅니다. 참고 풀이의 소인수 지수 대수(max, min) 없이도 엄밀하고, 왜 정확히 하나의 n 만 가능한지 학생이 직접 봅니다.

1STEP 1

15의 배수로 좁히기

최대공약수 조건이 15의 배수로 좁힙니다.

n ∈ {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180}

2STEP 2

180의 약수로 좁히기

최소공배수 조건이 180의 약수로 좁힙니다.

n ∣ 180 통과: {15, 30, 45, 60, 90, 180}

3STEP 3

최소공배수로 걸러내기

최소공배수를 직접 확인합니다.

lcm(60,18)=180, lcm(180,18)=180

4STEP 4

최대공약수로 걸러내기

최대공약수도 확인합니다.

gcd(60,45)=15 ✓, gcd(180,45)=45 ✗

5STEP 5

자릿수 더하기

자릿수를 더하면 6입니다.

6 + 0 = 6 → (B)

정답

n=60을 두 원래 조건에 직접 확인 — lcm(60,18) = 180 ✓, gcd(60,45) = 15 ✓. 자릿수 합 6+0=6은 (B)와 일치. 다른 보기 3, 8, 9, 12는 각각 자릿수 합이 그런 다른 n 들 (예: 30, 35, 45, 39 등)에 해당하지만, 그것들 중 어느 것도 두 원래 조건을 동시에 만족하지 못함 (예: 30은 lcm(30,18)=90으로 첫 조건 불통).

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 최소공배수·최대공약수만 알면 풀 수 있어요 — 15의 배수를 적고, 180의 약수만 남기고, lcm=180과 gcd=15를 둘 다 만족하는 n=60을 찾으면 자릿수 합은 6.

15의 배수로 좁히기

180의 약수로 좁히기

최소공배수로 걸러내기

최대공약수로 걸러내기

자릿수 더하기

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