AMC 10 · 2022 · #6

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangecaseworkdivisibility-rules caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 여섯 개로 이루어진 자료가 있고 그중 하나는 모릅니다. 여섯 수의 평균이 자료에 이미 나오는 값 중 하나와 같습니다. 그렇게 되는 모르는 양의 정수를 모두 찾아 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"평균이 자료에 있는 값" 이라는 조건이 후보를 다섯 가지로 좁혀줍니다 — 평균이 1, 2, 5, 7, 또는 X. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 차례대로 모든 경우를 점검하면 누락 없음. 각 경우 안에서 도구 #11(거꾸로 풀기) — 평균을 알고 있으니 평균 공식을 역으로 돌려 X 를 복구. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 검산 — 구한 X 를 다시 자료에 넣어 평균이 정말 자료에 있는 값인지 확인.

1STEP 1

알려진 합 구하기

알려진 다섯 수의 합을 구합니다.

1+7+5+2+5 = 20 → 평균 = (20+X)/6

2STEP 2

경우 나누기

평균이 될 수 있는 값마다 나눕니다.

경우: 평균 ∈ {1, 2, 5, 7, X}

3STEP 3

작은 값들은 실패

작은 값은 음수를 줍니다.

X = 6 · 1 - 20 = -14, X = 6 · 2 - 20 = -8

4STEP 4

첫 성공 경우

한 값이 양의 정수를 줍니다.

X = 6 · 5 - 20 = 10 ✓

5STEP 5

둘째 성공 경우

다른 값도 통과합니다.

X = 6 · 7 - 20 = 22 ✓

6STEP 6

모르는 값 자신인 경우

모르는 값 자신인 경우도 있습니다.

20 + X = 6X → X = 4 ✓

7STEP 7

모두 더하기

모두 더하면 36입니다.

4 + 10 + 22 = 36 → (D)

정답

통과한 X 마다 여섯 원소 자료의 평균을 다시 계산해 {1,2,5,7,X} 안에 있는지 직접 확인. 평균=1, 평균=2 경우는 다섯 고정값 합이 이미 20이라 X 가 음수로 떨어져 정당하게 탈락. 합 36은 (D)와 일치. 근처 보기 32 나 40은 {4, 22} 중 하나를 빠뜨리거나 잘못된 경우를 더한 결과에 해당.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 평균과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 평균을 (20+X)/6로 쓰고, 자료에 있는 값마다 평균이 그 값과 같다고 두어 X 를 거꾸로 구한 다음, 양의 정수만 남겨 4+10+22=36.