AMC 10 · 2022 · #7
학년 7 countinggeometry-2d
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도구 #1(그림 그리기) — 그림을 그대로 옮겨 어느 구역이 어느 구역과 변을 공유하는지 인접 관계를 표시. 그 인접도가 곧 문제 전부. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 다섯 개의 부분 계산으로 나누고 곱셈 원리로 합칩니다. 색칠 순서가 핵심 — 각 새 구역이 이미 칠해진 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서를 정하면 매 단계 5 에서 최대 2만 빼면 됨. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 보조 — 인접 목록을 표로 정리하면 "앞선 이웃 두 개" 검사가 쉬워집니다.
맞닿음 적기
어느 영역끼리 맞닿는지 적습니다.
BC 가 모든 구역과 닿는 허브; 비인접쌍은 대각선의 TL–BR 과 BL–TR 둘뿐.
5.G.A.2Draw A Diagram칠하는 순서 정하기
순서를 잘 고르면 각 단계가 단순해집니다.
단계마다 앞선 이웃이 ≤ 2이면 5 에서 최대 2 색만 빠지므로 선택 수가 깔끔.
5.OA.A.2Identify Subproblems앞의 세 영역 칠하기
앞의 세 영역은 선택지가 줄어듭니다.
앞선 이웃 두 개가 서로 인접이면 두 색을 차지, 정확히 두 색이 금지됨.
7.SP.C.8Identify Subproblems남은 두 영역 칠하기
남은 둘은 각각 세 가지입니다.
같은 논리 — 인접한 앞선 이웃 두 개가 정확히 두 색을 차지.
7.SP.C.8Identify Subproblems곱하기
곱하면 540입니다.
독립된 단계의 선택은 곱셈 — 곱셈 셈하기의 기본 원리.
단계마다의 독립적인 선택은 곱해지므로, 전체 개수는 하나의 곱이다.
▸ 왜?
각 단계는 앞선 단계가 정해진 뒤 자유롭게 골라지므로, 모든 조합이 가능하다.
▸ 왜?
완성된 각 색칠은 단계를 정확히 한 번 밟아 나오므로, 두 번 세어지는 것이 없다.
이 AMC 12 문제는 사실 7학년 곱셈 원리만 알면 풀 수 있어요 — 어느 구역끼리 닿는지 그림으로 표시하고, 새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖는 순서로 칠해, 5 · 4 · 3 · 3 · 3 = 540.