AMC 10 · 2022 · #16

학년 11 algebra

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logarithm-propertiesexponentssystems-of-equationsvieta-formulasquadratic-equationsdomain-restriction convert-to-algebraidentify-subproblemsextreme-principle ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 양의 실수가 두 조건으로 묶여 있습니다. 첫째는 한 수를 다른 수만큼 거듭제곱하면 2의 64제곱이 된다는 것이고, 둘째는 두 로그값으로 만든 거듭제곱이 2의 7제곱이 된다는 것입니다. 두 조건을 만족하는 쌍이 여럿일 수 있습니다. 그중 둘째 수의 밑이 2인 로그값이 가장 클 때 그 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$3+\sqrt{2}$

(D)

$4+\sqrt{3}$

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 조건 모두 미지수를 지수 자리에 숨겨 두었으니 로그로 시작하는 것이 당연하다. 그런데 한 번 취해서는 부족하고, 바로 그 지점에 이 문제의 어려움이 숨어 있다. x^y=2⁶⁴에 로그를 취하면 ylog₂ x=64가 되는데 여기에는 로그를 취하지 않은 y와 로그를 취한 x가 섞여 있다. (log₂ x)^log₂ y=2⁷에 로그를 취하면 (log₂ y)(log₂(log₂ x))=7이 되는데 이것은 두 층 더 위에 있다. 두 결과는 서로 다른 대상을 말하고 있어 합칠 수가 없다. 해법은 첫째 식에 로그를 한 번 더 취하는 것이다. 그러면 곱이 합으로 바뀌면서 둘째 식과 같은 층으로 올라온다. 그 순간 두 조건은 오직 log₂ y와 log₂(log₂ x)만을 언급하게 되므로, 이 둘에 이름을 붙이면 문제 전체가 '합이 6이고 곱이 7인 두 수를 찾아라'로 줄어든다. 이것은 이차방정식이고, 이차방정식은 근을 두 개 돌려준다. 게다가 만들어진 연립식은 두 이름에 대해 대칭이므로 어느 근도 눈대중으로 버릴 수 없다. 두 근 모두 로그를 거꾸로 되짚어 실제 x, y로 복원해 검사한 뒤, 극단의 원리로 큰 쪽을 고른다.

1STEP 1

두 로그에 이름 붙이기

첫 조건에 로그를 취합니다.

a = log₂ x, b = log₂ y x^y = 2⁶⁴ ⟹ ylog₂ x = 64 ⟹ ya = 64

2STEP 2

밑이 양수인지 확인

둘째 식의 밑이 양수임을 확인합니다.

y ＞ 0, ya = 64 ⟹ a = 64/y ＞ 0 ⟹ x ＞ 1 이고 log₂ a 가 정의된다

3STEP 3

둘째 조건에도 로그

둘째 조건에도 로그를 취합니다.

(log₂ x)^log₂ y = a^b = 2⁷ ⟹ blog₂ a = 7

4STEP 4

첫 조건에 로그 한 번 더

한 번 더 로그를 취합니다.

ya = 64 ⟹ log₂ y + log₂ a = log₂ 64 = 6 ⟹ b + log₂ a = 6

5STEP 5

합과 곱이 나타남

합과 곱이 함께 나타납니다.

c = log₂ a = log₂(log₂ x) b + c = 6, bc = 7

6STEP 6

이차방정식 되찾기

합과 곱에서 이차방정식을 되찾습니다.

t² - 6t + 7 = 0 ⟹ t = (6 ± √(36 - 28))/2 = (6 ± 2√(2))/2 = 3 ± √(2)

7STEP 7

두 후보 되돌리기

두 근을 원래 값으로 되돌립니다.

(x,y) ≈ (8.00951, 21.32115) → log₂ y = 3+√(2); (x,y) ≈ (2.62003 × 10⁶, 3.00171) → log₂ y = 3-√(2)

8STEP 8

큰 쪽 고르기

큰 쪽은 3 더하기 루트2입니다.

max{3+√(2), 3-√(2)} = 3+√(2) ≈ 4.41421

정답

3+√(2)

다시 풀지 않고 두 근을 원래 연립식에 그대로 대어 본다. 합은 (3+√(2)) + (3-√(2)) = 6으로 요구와 일치하고, 곱은 (3+√(2))(3-√(2)) = 9 - 2 = 7로 역시 일치한다. 반올림이 전혀 개입하지 않은 정확한 확인이다. 7단계의 수치 복원은 더 강한 검증인데, 이차방정식을 아예 건드리지 않기 때문이다. log₂ y의 주장값에서 출발해 x와 y를 실제 소수로 되살린 뒤 x^y = 2⁶⁴와 (log₂ x)^log₂ y = 2⁷을 두 후보 모두에 대해 소수 다섯째 자리까지 확인했다. 선택지와 크기도 견줘 보자. √(2) ≈ 1.41421이므로 3+√(2) ≈ 4.41421이고, 이는 (B) 4와 (D) 4+√(3) ≈ 5.73205 사이에 놓인다. 이제 오답 선택지를 하나씩 점검하면 각각이 특정한 실수에 대응한다. (A) 3은 두 근의 한가운데 6/2이다. 대칭은 알아챘지만 ±√(2)만큼 벌어지는 폭을 빠뜨렸거나, b+c=6에서 b=c라고 가정했을 때 나온다. (B) 4는 3+√(2)에서 √(2)를 1로 대충 어림한 값이고, 무리수 선택지가 낯설어 보일 때 찍게 되는 값이기도 하다. (E) 7은 근이 아니라 곱 bc이며, 동시에 a^b = 2⁷의 우변에 있는 지수이기도 해서 그 줄을 b = 7로 잘못 읽는 사람을 잡는다. (D) 4+√(3)은 2⁶⁴와 2⁷ 대신 2²⁵⁶과 2¹³이 들어간 쌍둥이 문제의 정답이다. 그 경우 합이 8, 곱이 13이 되어 근이 4 ± √(3)이 되기 때문이다. 방법은 맞지만 수를 잘못 넣었을 때의 모양이다. 마지막으로 2단계의 정의역 논의를 되짚으면, 두 후보 모두 c ＞ 0이므로 a = 2^c ＞ 1이고 x = 2^a ＞ 2로 넉넉히 양수이며 y = 2^b ＞ 0도 자동이다. 범위를 벗어나 버려야 할 근이 하나도 없었고, 바로 그래서 문제가 '가장 큰'이라는 말을 필요로 했다.

💡핵심 정리

미지수가 지수 두 겹 아래 묻혀 있으면 로그를 두 번 취해라. 두 번째 로그가 곱을 합으로 바꿔 주고, 합과 곱이 주어진 상황은 결국 변장한 이차방정식일 뿐이다.

두 로그에 이름을 붙이고 한 번 취하기
둘째 식의 밑이 양수임을 확인하기
둘째 조건에도 로그 취하기
첫째 조건에 로그를 한 번 더
합과 곱이 나타나다
합과 곱에서 이차방정식 되찾기
두 후보 모두 x와 y로 되돌리기
둘 중 큰 값을 고르기