AMC 10 · 2022 · #18
학년 3 geometry-2d
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도구 #7 (쪼개기): 중앙 칸이 처음에 "채워짐" 인지 "비어 있음" 인지로 두 경우로 분할 — 추론 방식이 매우 다름. 중앙 채워짐: 이웃 중 2 또는 3 개의 주변 칸이 채워져야 하고, 모든 주변 칸은 비도록 죽거나 그대로 비어야 함. 중앙 비어 있음: 정확히 3 개의 주변 채워진 칸이 있어야 하고 결과적으로 모두 비어야 함. 도구 #1 (그림): 모서리 C, 가장자리 E, 중앙 M 으로 표시한 3 × 3 그림으로 이웃 관계 추적. 도구 #2 (나열): 각 경우의 조건을 갖고 작은 유한 집합을 빠짐없이 훑기. 도구 #10 (만져보기): 그래프 종이에 동전을 놓고 손으로 이웃 세기.
이웃 개수 세기
자리마다 이웃 수가 다릅니다.
3 × 3 한 번 그리고 각 위치마다 이웃 수를 세어 두기 — 모서리 (드문), 가장자리 (중간), 중앙 (전부).
격자의 대칭이 서로 옮기는 칸들은 똑같이 행동하므로, 셈이 역할별로 갈린다.
▸ 왜?
대칭은 격자를 늘리지 않고 자기 위로 옮기므로, 이웃이 이웃으로 옮겨진다.
▸ 왜?
각 칸은 정확히 한 역할에 속하므로, 역할들이 겹치지 않고 모든 것을 덮는다.
가운데가 살아남는 조건
가운데가 차 있던 경우의 조건을 씁니다.
중앙은 모든 칸의 이웃이라 독립적으로 다룰 수밖에 없음.
1.OA.A.2Identify Subproblems첫 부분 경우 세기
첫 부분 경우가 두 가지입니다.
정반대 모서리 쌍만 서로 비이웃이면서 공통 빈 이웃을 갖지 않음.
3.OA.D.8Make A Systematic List둘째 부분 경우 세기
둘째 부분 경우는 없습니다.
상호 비이웃인 세 주변 칸은 항상 "공통 이웃" 빈 칸을 만들어 그 칸이 부활.
3.OA.D.8Make A Systematic List첫 경우 합계
첫 경우의 합계를 냅니다.
정반대 모서리 쌍 둘뿐.
1.OA.A.2Identify Subproblems가운데가 비어 있던 경우
이번에는 정확히 셋이 차 있어야 합니다.
세 채워진 칸 중 어느 칸도 다른 둘과 동시에 이웃이 아니고, 바깥 빈 칸 중 세 칸 모두를 이웃으로 가진 칸도 없음.
1.OA.A.2Identify Subproblems첫 모양 세기
첫 모양의 배치를 셉니다.
네 모서리 중 하나만 비우는 선택.
3.OA.A.3Make A Systematic List둘째 모양 세기
둘째 모양도 셉니다.
한 변의 양 모서리 + 그 반대편 외로운 가장자리.
3.OA.A.3Make A Systematic List셋째 모양 세기
셋째 모양도 셉니다.
한 모서리에서 만나는 두 가장자리 + 대각선 끝 모서리.
3.OA.A.3Make A Systematic List넷째 모양 세기
넷째 모양은 배치가 더 많습니다.
L 자 (모서리 + 그 옆 가장자리 하나)를 한 모서리에 두고, 대각선 끝 모서리도 채움.
3.OA.A.3Make A Systematic List모두 더하기
모두 더하면 22입니다.
서로 배반인 두 경우를 합치기.
2.OA.A.1Identify Subproblems중앙이 처음에 어떤 상태인지로 쪼개기. 중앙 채워짐: 정반대 모서리 쌍 두 개만 (2 가지). 중앙 빔: 채워진 주변 3 개가 네 모양 중 하나 (4 + 4 + 4 + 8 = 20 가지). 총 22, 답 (C).