AMC 10 · 2022 · #3
학년 5 number-theory답을 골라 클릭하세요.
a₁₀을 일일이 계산해 소수 판정하는 것은 21자리 수라 사실상 불가능. 도구 #9(더 쉬운 문제)로 n=1, 2, 3 작은 경우부터 — 공통된 구조가 보임. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 경우 같은 모양의 분해 (1들의 묶음을 자릿수만 옮긴 합)임을 일반화. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 '소수인가'라는 질문을 '인수분해 가능한가 + 두 인수가 모두 1보다 큰가' 두 부분으로 분리. 두 인수가 항상 1 보다 크면 어떤 항도 소수가 아님.
첫 항 인수분해
첫 항이 제곱수입니다.
두 약수 쌍을 찾으면 소수가 아님을 보이는 4학년 방법 그대로.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem둘째 항 인수분해
둘째 항도 곱으로 갈라집니다.
가운데 2 자리에서 가르면 10의 거듭제곱 곱셈으로 깔끔히 떨어짐.
4.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem셋째 항 인수분해
셋째도 같은 꼴입니다.
맞아떨어지는 경우 세 개면 규칙으로 받아들이고 일반식을 쓸 차례.
4.OA.C.5Look For A Pattern일반 규칙 쓰기
모든 항이 같은 꼴로 인수분해됩니다.
10ⁿ 을 곱하는 것은 자릿수를 n 칸 왼쪽으로 옮기는 것과 같음.
5.NBT.A.2Look For A Pattern두 인수 확인하기
두 인수가 모두 1보다 큽니다.
두 인수가 모두 1 보다 크면 그 곱은 1과 자기 자신 말고도 약수를 가짐.
두 인수 모두 1보다 크다면, 그 수는 1과 자기 자신 말고 다른 약수를 지닌다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 참된 인수분해가 그 물음을 영영 끝낸다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 오므로, 각 인수가 자기 짝을 가리킨다.
개수 세기
소수는 0개입니다.
두 인수가 모두 1 보다 크다는 사실만으로 소수 가능성이 사라짐.
4.OA.B.4Look For A Pattern이 AMC 12 문제는 사실 5학년 자릿값과 약수 쌍만 알면 풀 수 있어요 — 가운데 2 에서 수를 가르면 1 들의 묶음을 공통으로 뽑아낼 수 있고, 열 항 모두 1 보다 큰 두 수의 곱이라 소수가 하나도 없습니다.