AMC 10 · 2022 · #4

학년 7 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

polynomial-factoringpolynomial-rootsvieta-formulasfactorssystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: polynomial-factoringfactors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 이차식이 상수 하나를 갖고 있습니다. 그 이차식이 서로 다른 두 정수 근을 갖게 하는 정수 상수가 몇 개인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

두 근의 곱이 36 이라는 점에서 결국 묻고 있는 것은 '36의 서로 다른 정수 약수 쌍이 몇 개인가'. 도구 #2(빠짐없이 나열)는 '모든 쌍 찾기'에 딱 맞음. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 '양의 약수 쌍 나열', '음의 약수 쌍 나열', 'k 값 세기' 셋으로 분리. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 다리 역할 — k 부터 찾지 말고 더 쉬운 약수 쌍 문제부터 풀고 마지막에 k 를 읽어내자. 근의 공식 같은 무거운 도구를 피하고 약수 쌍 세기라는 자연스러운 길로.

1STEP 1

근과 계수의 관계 쓰기

두 근의 곱이 고정됩니다.

x² + kx + 36 = (x-r)(x-s) → rs = 36, r + s = -k

2STEP 2

양수 쌍 나열하기

양수 약수 쌍을 나열합니다.

r ＜ s 인 양의 쌍: (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9)

3STEP 3

음수 쌍 나열하기

부호를 뒤집은 쌍도 있습니다.

음의 쌍: (-1, -36), (-2, -18), (-3, -12), (-4, -9)

4STEP 4

부호가 다른 쌍 지우기

부호가 다르면 곱이 음수가 됩니다.

(+) × (-) = (-) ≠ 36

5STEP 5

상수 값 모으기

각 쌍이 상수 하나를 줍니다.

k ∈ {-37, -20, -15, -13, 37, 20, 15, 13}

6STEP 6

개수 세기

모두 8개입니다.

|{-37, -20, -15, -13, 13, 15, 20, 37}| = 8 → (B)

정답

검산 — k = -37이면 x² - 37x + 36 = (x - 1)(x - 36), 근 1, 36 ✓. k = 13이면 x² + 13x + 36 = (x + 4)(x + 9), 근 -4, -9 ✓. 답이 8이고 9가 아닌 이유 — (6, 6) 쌍은 두 근이 같으므로 (k = -12가 후보지만) 제외. 14 나 16이 아닌 이유 — (1, 36)과 (36, 1)은 같은 쌍, 같은 k 라 순서 없는 쌍 세기가 맞음.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 7학년 (x-r)(x-s) 전개만 알면 풀 수 있어요 — 상수항 36은 rs 에서 와야 하므로 36의 서로 다른 양의 약수 쌍 네 개를 나열하고, 음의 부호로 두 배 해서 k 값 8 개.