AMC 10 · 2022 · #6

학년 5 arithmetic
유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins
multiplesmodular-arithmeticdivisibility-rulespattern-recognitioncomplementary-counting complementary-countingpattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
1부터 1000까지의 정수를 연속한 열 개씩 백 개의 묶음으로 나눕니다. 이 묶음 중에서 7의 배수를 정확히 두 개 갖는 것이 몇 개인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
40
(B)
42
(C)
43
(D)
49
(E)
50
풀이 과정
전략 관점 바꾸기

블록 100개를 일일이 세는 것은 노가다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 뒤집어 — 블록이 아니라 7의 배수를 세고 그 배수들이 블록에 어떻게 흩어지는지 본다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 배수를 '소속 블록' 기준으로 묶기 — 각 블록은 정확히 1 개 또는 2 개 (0도 3도 없음). 도구 #9(더 쉬운 문제)로 이유 설명 — 7 간격, 폭 10의 창에는 최대 두 개. 전체 배수 개수와 블록당 최소 개수를 알면 '여분'이 곧 두 개를 가진 블록 수. 대수 불필요.

1STEP 1

앞 묶음 몇 개 살펴보기

앞 묶음들이 한두 개씩 갖습니다.

처음 세 블록의 7 배수 개수: 1, 1, 2
2STEP 2

한 묶음의 상한과 하한

어떤 묶음도 셋은 못 갖습니다.

간격=7 ＜ 10 → ≥ 1; 14 ＞ 9 → ≤ 2
3STEP 3

전체 개수 세기

7의 배수 전체를 셉니다.

⌊ 1000 ÷ 7 ⌋ = 142, 왜냐하면 7 × 142 = 994
4STEP 4

연립방정식 세우기

묶음 수와 배수 수가 두 식을 줍니다.

a+b = 100, a + 2b = 142 → b = 42
5STEP 5

풀어서 답 읽기

풀면 42입니다.

b = 42 → (B)
정답
42
양극 확인 — 1~1000의 7 배수 총수는 ⌊ 1000/7 ⌋ = 142, 블록당 최소 1, 최대 2. 답 42는 0과 100 사이로 타당. 밀도 확인 — 연속한 7 블록(정수 70 개) 안에 7의 배수는 ⌊ 70/7 ⌋ = 10 개, 대략 3 블록(2개)+4 블록(1개) 배치 (3 · 2 + 4 · 1 = 10). 100 블록으로 확장하면 약 3/7 · 100 ≈ 43. 정확한 총수 142가 43이 아닌 42를 가리킴. (A) 40, (D) 49, (E) 50은 밀도와 거리가 멀고 (C) 43은 어림 평균값에 해당.
💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 5학년 나눗셈과 배수 개념만 알면 풀 수 있어요 — 1000 이하 7의 배수는 142 개, 100 블록에 흩어지고 모든 블록에 최소 하나씩, 그러면 여분 142 - 100 = 42가 곧 두 개를 가진 블록 수.

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