경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2017 · #24
학년 6 number-theorycounting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"전화가 오지 않은" 날을 묻고 있는데, 이건 전형적인 "적어도 하나" / "하나도 없음" 구조라 도구 #16(관점 바꾸기)의 정석적인 신호입니다 — 전화 온 날을 먼저 센 다음 365 에서 빼면 됩니다. 세 손주의 전화 날은 세 집합 A (3의 배수), B (4의 배수), C (5의 배수)가 겹쳐 있는 구조이므로 도구 #12(벤 다이어그램)가 자연스럽게 그림으로 떠오릅니다 — 세 원을 더하고, 두 원씩 겹치는 부분(최소공배수의 배수)을 빼고, 가운데 세 원 모두 겹치는 부분을 다시 더합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 단순한 셈 규칙으로 쓰입니다 — {1, …, 365} 안에 있는 k 의 배수 개수는 ⌊ 365/k ⌋ 와 같습니다.
손자별 전화 날수 세기
각 손주의 전화 날은 365 이하 주기의 배수이고 ⌊365/k⌋ 로 세면 |A| = 121, |B| = 91, |C| = 73.
어떤 수의 배수가 정해진 범위 안에 몇 개 있는지 세는 것은 4학년 "약수·배수" 그대로이고, 그것을 세 번 반복할 뿐입니다.
4.OA.B.4Look For A Pattern두 명이 겹치는 날 세기
두 손주가 겹치는 날은 최소공배수의 배수뿐 → |A ∩ B| = 30, |A ∩ C| = 24, |B ∩ C| = 18.
두 사건이 같은 날 일어나는 것은 벤 다이어그램에서 두 원이 겹친 부분 — 즉 두 수의 최소공배수(LCM, 6학년)의 배수에 해당합니다.
6.NS.B.4Draw A Venn Diagram세 명 모두 겹치는 날 세기
셋 다 겹치는 날은 lcm(3,4,5) = 60의 배수뿐 — 벤 다이어그램의 한가운데 → |A ∩ B ∩ C| = 6.
세 사건이 모두 일어나는 날은 세 주기의 최소공배수의 배수 — 벤 다이어그램에서 가장 안쪽 중심 영역입니다.
6.NS.B.4Draw A Venn Diagram포함배제로 합치기
포함-배제: 세 원을 더하고 두 겹침을 빼고 세 겹침을 다시 더하면 → 전화 온 날 219 일.
더하고-빼고-더하는 패턴은 벤 다이어그램의 각 영역이 정확히 한 번씩만 세어지도록 맞추는 셈법입니다.
적어도 한 번 전화가 온 날의 수는 세 집합 각각의 개수를 더한 값에서 세 쌍의 겹침 개수를 빼고, 세 명 모두 겹치는 개수를 다시 더한 것과 같다.
▸ 왜?
적어도 한 번 전화가 온 날은 모두 — 한 명이 건 날, 두 명이 건 날, 세 명 모두 건 날 — 서로 겹치지 않는 세 무리 중 정확히 하나에 속하므로, 올바른 전체는 그런 날을 각각 딱 한 번씩만 세어야 한다.
▸ 왜?
세 집합의 개수를 그냥 더하면 두 명이 건 날은 두 번, 세 명이 건 날은 세 번 세어지므로, 이 단순한 합은 겹치는 날을 지나치게 많이 센다.
▸ 왜?
세 쌍의 겹침 개수를 빼면 두 명이 건 날이 한 번 더 빠져서, 두 번 세어진 것이 다시 한 번 센 상태로 내려온다.
▸ 왜?
그 같은 뺄셈이 세 명이 건 날을 세 번 세어진 상태에서 0까지 깎으므로, 세 명 겹침 개수를 한 번 다시 더해 한 번 센 상태로 되돌린다.
365에서 빼기
전화 안 온 날은 전화 온 날의 여집합 → 365 - 219 = 146, 정답 (D).
"전화가 안 온 날" 은 "적어도 한 통이라도 전화가 온 날" 의 여집합이므로 전체에서 빼면 끝 — 선택지 (D)와 일치합니다.
4.NBT.B.4Change Focus Count The Complement이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 최소공배수(LCM)와 벤 다이어그램만 알면 풀 수 있어요!
- 손자별 전화 날수 세기
- 두 명이 겹치는 날 세기
- 세 명 모두 겹치는 날 세기
- 포함배제로 합치기
- 365에서 빼기
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