AMC 10 · 2022 · #7
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
세 통계량(최빈·중앙·평균)이 한꺼번에 얽힘. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 — '정렬한 리스트는 어떻게 생겼나?', '평균 조건은 어떤 식을 주나?', '미지수를 얼마나 작게 만들 수 있나?' 셋으로 분리. 도구 #13(대수)으로 — 모양이 정해지면 M 에 대한 한 변수 방정식. 도구 #6(추측·확인)으로 — 가장 작은 합법적 x₁, x₂부터 시도, 짝홀이 안 맞으면 올림. 무거운 부등식 분석 대신 양의 정수에서 작은 방향성 추측으로 바닥값을 찾음.
중앙값과 최빈값 자리 정하기
최빈값이 맨 위 두 자리를 차지합니다.
정렬한 다섯 수의 중앙값은 가운데 — 6학년 통계.
6.SP.B.5Identify Subproblems정렬해서 쓰기
다섯 수를 정렬해 씁니다.
최빈값은 위쪽 두 자리에 두 번, 아래 셋은 모두 달라야 최빈값이 유일.
6.SP.A.3Identify Subproblems평균 조건 쓰기
평균 조건이 합을 정합니다.
평균 조건을 M, x₁, x₂의 깔끔한 일차식으로 변환.
6.EE.B.7Convert To Algebra짝수 조건 알아채기
아래 두 수의 합이 짝수여야 합니다.
양변의 짝홀이 x₁ + x₂가 짝수여야 함을 강제.
총합이 개수의 정수 배여야 하므로, 자유로운 두 항목의 합이 짝수여야 한다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 총합은 개수 곱하기 평균이어야 한다.
▸ 왜?
홀수인 총합과 짝수인 총합이 함께 성립할 수 없으므로, 자유로운 부분의 홀짝이 정해진다.
가장 작게 만들기
아래 두 수를 가장 작게 잡습니다.
짝수 합을 만드는 가장 작은 x₁, x₂가 M 도 최소로 — 양의 정수에서 추측·확인.
5.NBT.B.5Guess And Check실제 예로 확인
실제 다섯 수로 확인합니다.
세 조건 모두 성립 — 구성이 유효.
6.SP.B.5Guess And Check최솟값 읽기
최빈값의 최솟값은 11입니다.
중앙값 최솟값에 2를 더하면 최빈값 최솟값.
4.NBT.B.4Identify Subproblems이 AMC 12 문제는 사실 6학년 평균·중앙값·최빈값과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 정렬 모양 x₁, x₂, M, M+2, M+2 에서 2M = x₁ + x₂ + 14, 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 1, 3을 넣으면 M = 9, 최빈값 M + 2 = 11.