AMC 10 · 2022 · #9

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

exponentssequences-arithmeticextreme-principleoptimizationguess-and-check extreme-principleguess-and-checkeasier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: exponentssequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 정수로 이루어진 엄격히 증가하는 등차수열이 있습니다. 여덟 번째 항에 대해 2의 그 항 제곱이 2의 27제곱에 그 항을 곱한 값과 같습니다. 세 번째 항이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

문제가 두 덩어리로 깔끔하게 나뉩니다. 먼저 a₇을 확정하는 부분: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 양변을 2²⁷로 나누면 지저분한 2^a₇ = 2²⁷ · a₇이 2^a₇ - 27 = a₇ 한 줄로 줄어듭니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 지수를 k = a₇ - 27이라 이름 붙이면 식이 2^k = k + 27이 되고, 도구 #6(추측하고 확인하기)로 여섯 줄짜리 표를 쓰면 끝납니다 — 두 배씩 커지는 쪽이 1 씩 커지는 쪽을 금방 앞지르기 때문입니다. 다음은 a₂를 최소화하는 부분: 도구 #14(극단의 원리)가 이 문제의 핵심입니다. a₇이 한 값으로 못 박히면 a₂ = a₇ - 5d 는 d 가 커질수록 작아지므로, "a₀이 아직 양수" 라는 조건이 허락하는 최대까지 d 를 밀어붙이면 됩니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 나머지 네 선택지가 d 를 덜 키웠거나 항 번호를 하나 헷갈린 결과임을 확인합니다.

1STEP 1

공통 밑 약분하기

공통 밑을 약분합니다.

2^a₇ = 2²⁷ · a₇ ⟺ 2^a₇ - 27 = a₇

2STEP 2

2의 거듭제곱임을 강제

그 항이 2의 거듭제곱이어야 합니다.

k = a₇ - 27 ≥ 1, a₇ = 2^k, a₇ = k + 27 ⟹ 2^k = k + 27

3STEP 3

작은 지수로 풀기

작은 지수를 하나씩 확인합니다.

k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 ; 2^k & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 & 64 ; k+27 & 28 & 29 & 30 & 31 & 32 & 33 ⟹ k = 5, a₇ = 32

4STEP 4

세 번째 항을 공차로 쓰기

세 번째 항을 공차로 나타냅니다.

a₂ = a₇ - 5d = 32 - 5d, a₀ = a₇ - 7d = 32 - 7d, d ∈ {1, 2, 3, …}

5STEP 5

공차를 극단까지 밀기

첫 항이 양수여야 하므로 상한이 생깁니다.

32 - 7d ≥ 1 ⟹ d ≤ 31/7 ⟹ d_max = 4

6STEP 6

최솟값 읽기

최솟값은 12입니다.

d = 4: (a₀, …, a₇) = (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32), a₂ = 32 - 5 · 4 = 12 → (B)

정답

두 가지로 검증합니다. 첫째, a₇ = 32는 원래 식을 정확히 만족합니다: 2³² = 2²⁷ · 32 = 2²⁷ · 2⁵로 참입니다. 둘째, 가능한 공차를 전부 훑어 a₂ = 32 - 5d 를 나열하면 d = 1 일 때 27, d = 2 일 때 22, d = 3 일 때 17, d = 4 일 때 12이고, d = 5는 a₀ = 32 - 35 = -3이 되어 양의 정수가 아니므로 불가능합니다. 살아남은 값 중 가장 작은 것이 12 이므로 빠뜨린 경우가 없습니다. 12가 선택지 목록의 양 끝이 아니라 가운데에 있다는 점도 좋은 신호입니다 — 17과 22는 d 를 한두 걸음 일찍 포기한 사람이 정확히 얻게 되는 값입니다.

💡핵심 정리

공통으로 들어 있는 2²⁷을 약분하면 식이 a₇ = 32를 강제하고, 그다음 a₂를 최대한 작게 만드는 일은 첫 항이 1 아래로 떨어지기 직전까지 걸음 폭을 크게 잡는 것뿐입니다.

공통 밑을 약분하기
a₇이 2의 거듭제곱임을 강제하기
2^k = k + 27 풀기
a₂를 d 로 나타내기
d 를 극단까지 밀기
최솟값 읽어내기