AMC 10 · 2023 · #10

학년 8 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

signed-square-rootabsolute-valuesystems-of-equationsexponents caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentssystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 양수가 두 조건을 만족합니다. 하나를 세제곱한 값이 다른 하나를 제곱한 값과 같고, 두 수의 차를 제곱한 값이 한 수를 제곱한 값의 네 배와 같습니다. 두 수의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 가능성 지우기

주 도구는 #3(가능성 지우기)입니다. 이 문제 전체가 원소 두 개짜리 유한 집합에서 갈립니다. 제곱은 2대 1 연산이라 (y-x)² = 4y² 에서 제곱을 되돌리면 후보 관계식이 정확히 두 개, y-x = 2y 와 y-x = -2y 가 나옵니다. 이 중 "x 와 y 는 양수" 와 공존할 수 있는 것은 하나뿐이고, 나머지 하나를 지우는 단계가 답을 유일하게 만듭니다. 이 단계를 건너뛰는 것이 바로 문제가 노리는 함정입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그 분기를 정리합니다 — 두 갈래를 각각 작은 문제로 처리한 뒤 살아남은 쪽만 다른 방정식에 넣습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 두 번째 방정식을 먼저 공략할 이유를 줍니다. (y-x)² = 4y²은 그 자체로는 두 변수 이차식이지만 한 줄짜리 관계식 x = 3y 로 무너지고, 이를 y³ = x²에 대입하면 두 방정식 연립이 y 하나에 대한 방정식으로 줄어듭니다.

1STEP 1

양변을 제곱 꼴로 맞추기

양변을 제곱 꼴로 맞춥니다.

(y-x)² = 4y² = (2y)²

2STEP 2

제곱 풀기: 두 갈래

제곱을 풀면 두 갈래가 나옵니다.

(y-x)² = (2y)² ⟹ y-x = 2y 또는 y-x = -2y

3STEP 3

첫 갈래는 양수 조건과 모순

첫 갈래는 양수 조건과 모순입니다.

y - x = 2y ⟹ x = -y ＜ 0, x ＞ 0과 모순

4STEP 4

둘째 갈래가 살아남음

둘째 갈래가 살아남습니다.

y - x = -2y ⟹ 3y = x, y ＞ 0 → x = 3y ＞ 0

5STEP 5

삼차식에 대입하기

삼차식에 대입합니다.

y³ = x² = (3y)² = 9y²

6STEP 6

약분해서 y 와 x 구하기

약분해 두 값을 구합니다.

y³/y² = 9y²/y² ⟹ y = 9, x = 3(9) = 27

7STEP 7

검산하고 더하기

검산하고 더하면 36입니다.

y³ = 729 = x²; (y-x)² = 324 = 4y²; x+y = 27 + 9 = 36 → (D)

정답

(x, y) = (27, 9)는 근삿값이 아니라 정확한 값입니다. 27² = 729 = 9³이고 (9-27)² = 324 = 4 · 9² 이며 두 수 모두 진짜 양수입니다. 지운 갈래를 한 번 더 볼 가치가 있습니다. 문제가 시험하는 지점이기 때문입니다. 첫째 갈래는 x = -y 를 주고, 이를 y³ = x²에 넣으면 y³ = y² 이므로 y = 1, x = -1입니다. 이 쌍은 두 방정식을 실제로 만족합니다 — 1 = 1이고 (1-(-1))² = 4 = 4 · 1. 그런데 x = -1은 양의 실수가 아니므로 올바르게 버려집니다. 또한 이 갈래는 x + y = 0을 낳는데 이는 선택지에 없어서, 탈락 판정이 옳았다는 두 번째 확인이 됩니다. 살아남은 답 36이 양의 실수로부터 얻을 수 있는 유일한 합입니다. 틀리는 모습도 두 가지 보입니다. 계수 3을 빠뜨리고 x = y 로 두면 9 + 9 = 18, 선택지 (B)가 나오고, y = 9에 x = 27 대신 x = 3을 짝지으면 12, 선택지 (A)가 나옵니다.

💡핵심 정리

제곱근을 취하면 항상 두 갈래가 남고, 여기서는 "양의 실수" 라는 말이 그중 하나를 버리게 합니다 — 살아남은 x = 3y 가 y³ = x²을 y = 9로 바꾸므로 x + y = 27 + 9 = 36입니다.

양변을 제곱 꼴로 맞추기
제곱 풀기: 두 갈래
첫 갈래는 양수 조건과 모순
둘째 갈래가 살아남음
삼차식에 대입하기
약분해서 y 와 x 구하기
검산하고 더하기