AMC 10 · 2023 · #12
학년 9 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
세제곱 열여덟 개를 다 계산해 부호대로 더해도 답은 나오지만 느리고 실수가 잦습니다. 먼저 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 식을 아홉 쌍으로 자릅니다. 각 쌍은 짝수의 세제곱에서 바로 아래 홀수의 세제곱을 뺀 꼴입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 아홉 쌍이 전부 같은 모양임을 확인한 뒤, 핵심 수인 도구 #4(변수 도입하기)를 씁니다. 쌍의 번호를 k 라 두고 (2k)³ - (2k-1)³을 한 번만 전개하면 삼차항이 상쇄되고 이차식만 남습니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 배수 판정을 이용해 선택지를 독립적으로 검증합니다.
쌍으로 자르기
식을 아홉 쌍으로 자릅니다.
18 개짜리 긴 사슬보다 작은 차 아홉 개가 훨씬 다루기 쉽고, 묶는 데 드는 대가는 전혀 없음.
6.EE.A.3Identify Subproblems쌍에 번호 붙이기
쌍에 번호를 붙입니다.
아홉 쌍의 모양이 전부 같으니 글자 하나가 아홉 개를 동시에 대신할 수 있음.
6.EE.B.6Look For A Pattern일반 쌍 전개하기
전개하면 세제곱이 사라집니다.
한 칸 차이 나는 두 세제곱은 그 사이의 얇은 껍질만큼만 다르고, 그 껍질은 세제곱이 아니라 제곱으로 자람.
한 걸음 떨어진 두 세제곱의 차는 그 사이의 얇은 껍질뿐이며, 그 껍질은 제곱처럼 커진다.
▸ 왜?
같은 차수의 거듭제곱의 차는 언제나 밑의 차를 인수로 지니며, 여기서는 그것이 1이다.
▸ 왜?
남은 괄호를 펼치면 곱셈이 평범한 제곱항과 일차항으로 퍼진다.
이차식 더하기
표준 합 공식으로 더합니다.
이차식의 합은 이미 외우고 있는 세 가지 표준 합을 알맞게 섞은 것에 지나지 않음.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable계산 마무리
계산하면 3159입니다.
패턴을 식 하나로 압축하고 나면 마지막 남은 일은 단순 계산뿐.
6.EE.A.1Identify Subproblems한 칸 차이 나는 두 세제곱은 생각보다 거의 다르지 않아요. (2k)³ - (2k-1)³은 삼차에서 12k² - 6k + 1까지 내려앉습니다. 이것을 k = 1부터 9까지 더하면 세제곱 열여덟 개가 12(285) - 6(45) + 9 = (D) 3159로 줄어듭니다.
- 식을 아홉 쌍으로 자르기
- 쌍에 번호 k 붙이기
- 일반 쌍 한 번만 전개하기
- 이차식을 아홉 항까지 더하기
- 마지막 계산 마무리