AMC 10 · 2023 · #14

학년 12 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

complex-numberscomplex-polar-formroots-of-unityabsolute-value caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: complex-numbersexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 복소수를 다섯 제곱한 값이 그 수의 켤레와 같아지는 경우가 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

켤레 기호가 다항식 기법을 전부 막아버리므로, 첫 수는 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 방향은 버리고 양변의 크기만 비교합니다. 그러면 복소평면 전체가 |z|=0과 |z|=1 두 가지 크기로 줄고, 이것이 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)가 다룰 상황 — 겹치지 않는 두 경우를 따로 세고 마지막에 더합니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 크기를 r = |z| 로 이름 붙이고, 두 번째 경우에서는 극형식을 써서 켤레를 1/z로 바꿉니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 해를 전부 적어내면, 빠뜨린 것도 중복된 것도 없음을 확인할 수 있습니다.

1STEP 1

크기 비교하기

양변의 크기를 비교합니다.

|z⁵| = |z| ⟹ |z|⁵ = |z| ⟹ r⁵ = r, r = |z| ≥ 0

2STEP 2

크기 방정식 풀기

크기는 0 아니면 1입니다.

r⁵ - r = r (r-1)(r+1)(r²+1) = 0, r ≥ 0 ⟹ r = 0 또는 r = 1

3STEP 3

원점 확인하기

원점도 해에 들어갑니다.

z = 0: z⁵ = 0, z = 0 ⟹ 해 1 개

4STEP 4

단위원 위로 옮기기

단위원에서는 켤레가 역수입니다.

|z| = 1 ⟹ z = 1/z; z⁵ = 1/z ⟺ z⁶ = 1

5STEP 5

단위원 위의 해 세기

여섯 개의 해가 나옵니다.

z = exp ((2π i k)/6), k = 0,…,5: 1, 1/2+√(3)/2i, -1/2+√(3)/2i, -1, -1/2-√(3)/2i, 1/2-√(3)/2i

6STEP 6

모두 더하기

모두 더하면 7개입니다.

1 + 6 = 7 ⟹ (E) 7

정답

경우 나누기를 전혀 쓰지 않는 다른 길로 검산합니다. z⁵ = z의 양변에 켤레를 취하면 z^ 5 = z 이고, 여기에 z = z⁵를 넣으면 (z⁵)⁵ = z, 즉 z²⁵ = z 이므로 z (z²⁴-1) = 0. 따라서 모든 해는 후보 25 개 안에 있습니다: z = 0과 1의 24 제곱근 24 개. z = exp ((2π i k)/24)를 원래 식에 넣으면 exp(5iθ) = exp(-iθ), 즉 6θ 가 한 바퀴의 정수배여야 하고, 이는 k 가 4의 배수일 때뿐 — 24 개 중 6 개입니다. 여기에 z = 0을 더하면 다시 7, 완전히 독립된 경로에서 같은 답이 나옵니다. 그림과도 맞습니다: 단위원에 내접한 정육각형의 꼭짓점 여섯 개와 그 중심. 선택지 (D) 6은 처음부터 양변에 z 를 곱해 z = 0을 소리 없이 잃은 사람을 위한 함정입니다.

💡핵심 정리

크기부터 비교하세요. |z|⁵ = |z| 에서 |z| = 0 또는 |z| = 1이 강제됩니다. 원점이 그 자체로 해 하나이고, 단위원 위에서는 z = 1/z 라 방정식이 z⁶ = 1로 바뀌어 해가 여섯 개 — 합해서 1 + 6 = (E) 7. 모두가 놓치는 지점은 z = 0입니다.