AMC 10 · 2023 · #19

학년 11 algebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

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📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

로그 세 개가 나오는데 진수는 모두 같고 밑만 다릅니다. 앞의 두 로그를 곱하면 세 번째와 같다는 방정식입니다. 이를 만족하는 값을 모두 찾아 곱하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$(\log_{2023}7\cdot \log_{2023}289)^2$

(B)

$\log_{2023}7\cdot \log_{2023}289$

(C)

(D)

$\log_{7}2023\cdot \log_{289}2023$

(E)

$(\log_7 2023\cdot\log_{289} 2023)^2$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

미지수 x가 세 개의 밑 속에 갇혀 있는데, 밑은 미지수가 있기에 가장 나쁜 자리다. 밑끼리는 쓸 만한 계산 규칙이 없기 때문이다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 이것부터 해결한다. log_bN = 1/log_Nb로 각 로그를 뒤집으면 x가 밑에서 진수로 빠져나오고, 세 로그가 모두 밑 2023 하나로 모인다. 이제 로그 법칙을 쓸 수 있다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)가 핵심 작업을 한다. u = log₂₀₂₃x로 두면 log₂₀₂₃(7x)는 log₂₀₂₃₇ + u가 되고 나머지 둘도 같은 모양이 되어, 식 전체가 u에 대한 이차식으로 바뀐다. 여기에 숨은 선물이 2023 = 7 · 289다. 이 사실 때문에 두 상수 log₂₀₂₃₇과 log₂₀₂₃₂₈₉의 합이 정확히 1이 되고, 바로 그 하나 때문에 일차항이 통째로 사라진다. 마지막 한 수가 문제의 승부처다. 묻는 것은 x들의 곱인데 이차식은 u의 세계에 있다. x = 2023^u이므로 x를 곱하는 일은 u를 더하는 일이다. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기)이 비에트 정리의 근의 곱이 아니라 근의 합을 보라고 지시한다. 도구 #14(극단의 원리)로 두 근이 실수임을 먼저 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 두 근이 금지된 값이 아님을 확인한다.

1STEP 1

허용되는 값 적기

밑이 1이 되면 안 됩니다.

x ＞ 0, x ≠ 1/7, x ≠ 1/289, x ≠ 1/2023

2STEP 2

같은 밑으로 뒤집기

모든 로그를 같은 밑으로 뒤집습니다.

1/(log₂₀₂₃(7x)·log₂₀₂₃(289x)) = 1/log₂₀₂₃(2023x) ⟹ log₂₀₂₃(7x)·log₂₀₂₃(289x) = log₂₀₂₃(2023x)

3STEP 3

두 밑의 곱 알아채기

두 밑의 곱이 세 번째 밑입니다.

u=log₂₀₂₃x, a=log₂₀₂₃₇, b=log₂₀₂₃₂₈₉ ⟹ a+b=log₂₀₂₃(7 · 289)=1, (a+u)(b+u)=1+u

4STEP 4

전개하고 약분하기

전개하면 일차항이 사라집니다.

ab+(a+b)u+u² = 1+u ⟹ ab+u+u² = 1+u ⟹ u² = 1-ab

5STEP 5

실근 두 개 확인

두 실근이 존재합니다.

ab ≤ ((a+b)/2)²=1/4 ⟹ 1-ab ≥ 3/4 ＞ 0; u₁=√(1-ab), u₂=-√(1-ab), u₁+u₂=0

6STEP 6

곱은 지수의 합

두 해의 합이 0이라 곱이 1이 됩니다.

x₁x₂ = 2023^u₁ · 2023^u₂ = 2023^ u₁+u₂ = 2023⁰ = 1

7STEP 7

적법성 확인하고 답하기

두 해 모두 적법해 답은 1입니다.

u=-a → a²=1-ab → a(a+b)=1 → a=1 (거짓); u=-b, u=-1도 마찬가지로 불가 ⟹ x₁x₂ = 1 → (C)

정답

수치로 직접 풀어 확인해 보자. a=log₂₀₂₃₇ ≈ 0.25563, b=log₂₀₂₃₂₈₉ ≈ 0.74437이므로 실제로 a+b=1이고 ab ≈ 0.19028, √(1-ab) ≈ 0.89984다. 두 해는 x₁ = 2023⁰.89984 ≈ 943.7993과 x₂ = 2023⁻⁰.89984 ≈ 0.00105955이다. x₁을 원래 식에 넣으면 좌변이 약 0.5263590839, 우변도 약 0.5263590839이고, x₂를 넣으면 양변 모두 약 9.9843963841이다. 둘 다 양수이고 1/7≈ 0.142857, 1/289≈ 0.003460, 1/2023≈ 0.000494 중 어느 것도 아니므로 모두 적법하다. 곱은 943.7993 × 0.00105955 = 1.000000이다. 또한 x₂가 정확히 1/x₁이라는 점도 눈에 띈다. 해집합이 역수 짝을 이루는 것이 u₁+u₂=0의 구체적인 얼굴이다. 이제 오답 선택지를 보자. ab로 줄여 쓰면 (B)는 ab ≈ 0.1903, (A)는 (ab)² ≈ 0.0362, (D)는 log₇₂₀₂₃·log₂₈₉₂₀₂₃ = 1/ab ≈ 5.2554, (E)는 1/(ab)² ≈ 27.6190이다. 넷 모두 남겨진 양 ab를 네 가지로 변장시킨 것이고, ab는 실제로 u² = 1-ab에 등장하기 때문에 거기서 멈추고 싶은 유혹이 크다. 이 문제의 요점은 ab가 두 근의 간격만 바꿀 뿐 u₁+u₂=0이라는 대칭은 절대 깨지 못한다는 것이고, 그래서 ab는 곱에 살아남을 수 없다. 그 상쇄를 정확히 반영하는 것은 (C)뿐이다.

💡핵심 정리

x 자체가 아니라 x의 로그를 구했다면, 답들을 곱하는 일은 근들을 더하는 일이 된다. 그러니 비에트 정리의 근의 곱이 아니라 근의 합을 써라.

x가 가질 수 있는 값 적기
모든 로그를 밑 2023으로 뒤집기
log x에 이름 붙이고 2023 = 7 곱하기 289 쓰기
전개하면 u 항이 사라진다
실근이 두 개임을 확인하기
x의 곱은 u의 합이다
두 해가 모두 적법한지 확인하고 답하기