AMC 10 · 2023 · #23

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

am-gm-inequalityoptimizationsystems-of-equationssigned-square-root extreme-principleidentify-subproblems ↑ 선수 지식: am-gm-inequalitysystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 양의 실수가 하나의 방정식으로 묶여 있습니다. 세 인수의 곱이 두 수의 곱의 서른두 배와 같습니다. 두 수가 무엇인지가 아니라 그런 순서쌍이 몇 개인지 묻습니다. 미지수 둘에 방정식 하나면 보통 곡선이 나오지만 실제로는 몇 개인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

an infinite number

풀이 과정

전략 극단의 원리

좌변을 전개하면 항이 일곱 개인 두 변수 삼차식이 나오고 뚜렷한 인수분해도 없다. 정면 돌파는 막힌 길이다. 대신 식의 생김새가 다른 곳을 가리킨다. 좌변의 인수는 하나같이 양수 두 개의 합이고, 우변은 두 변수의 맨 곱이다. 한쪽은 합, 다른 쪽은 곱. 이것이 산술-기하 평균 부등식의 지문이다. 이 부등식은 양수 두 개의 합이 그 곱의 제곱근의 두 배 이상이며, 등호는 오직 두 수가 같을 때만 성립한다고 말한다. 그래서 계획은 이 식을 푸는 대상이 아니라 위끝 아래끝을 재는 대상으로 바꾸는 것이다. 먼저 두 수짜리 부등식을 밑바닥부터 한 번 증명하고, 그것을 세 인수에 따로따로 적용한 뒤 셋을 곱한다. 그렇게 합쳐진 아래끝이 정확히 32ab로 떨어진다면, 주어진 식은 해를 요구하는 것이 아니라 좌변이 자기 바닥에 정확히 닿아 있다고 선언하는 것이 된다. 그런 극단은 뻣뻣하다. 세 양수의 곱이 그보다 작거나 같은 세 양수의 곱과 같으려면 어디에서도 손실이 없어야 하므로, 세 등호가 동시에 성립해야 한다. 이렇게 하면 미지수 둘짜리 어려운 식 하나가 쉬운 식 세 개로 바뀌고, 해의 개수는 그 작은 연립식을 만족시키는 방법의 수가 된다. 마지막으로 그 연립식이 모순이 아니라 실제로 맞아떨어지는지 확인해야 한다. 모순이었다면 답은 0이 되었을 것이기 때문이다.

1STEP 1

합과 곱 구조 보기

왼쪽은 합, 오른쪽은 곱입니다.

(1+2a)(2+2b)(2a+b) = 32ab, a ＞ 0, b ＞ 0

2STEP 2

양수 두 개에 관한 사실

합이 곱의 제곱근의 두 배 이상입니다.

(√(x) - √(y))² ≥ 0 ⟹ x + y ≥ 2√(xy), 등호 ⇔ x = y

3STEP 3

세 인수에 겨누기

세 인수에 하나씩 적용합니다.

1 + 2a & ≥ 2√(2a) && 등호 ⇔ 2a = 1 ; 2 + 2b & ≥ 4√(b) && 등호 ⇔ 2b = 2 ; 2a + b & ≥ 2√(2ab) && 등호 ⇔ 2a = b

4STEP 4

곱하면 바닥이 정확히 맞는다

곱하면 바닥이 오른쪽과 같습니다.

(1+2a)(2+2b)(2a+b) ≥ (2√(2a))(4√(b))(2√(2ab)) = 16√(4a²b²) = 32ab

5STEP 5

등호 조건으로 읽기

등호가 성립하려면 세 조건이 모두 맞아야 합니다.

L₁L₂L₃ = R₁R₂R₃, L_i ≥ R_i ＞ 0 ⟹ 모든 i 에 대해 L_i = R_i ⟹ 2a = 1 ; 2b = 2 ; 2a = b

6STEP 6

연립식 풀고 확인하기

해가 하나 있으므로 답은 1입니다.

a = 1/2, b = 1; 2a = 1 = b ✓ (2)(4)(2) = 16 = 32 · 1/2 · 1

정답

찾아낸 쌍부터 확인하자. (1/2, 1)에서 좌변은 (1+1)(2+2)(1+1) = 2 · 4 · 2 = 16, 우변은 32 · 1/2 · 1 = 16이므로 정확한 해이고, 이것만으로 보기 (A)는 지워진다. 다음으로 다른 쌍이 끼어들 수 있는지 보자. 변수를 조금씩 밀어 보면 좌변이 언제나 이긴다. (0.5, 1.1)에서 좌변은 2 · 4.2 · 2.1 = 17.64이고 우변은 17.6이다. (0.6, 1)에서는 2.2 · 4 · 2.2 = 19.36 대 19.2, (0.4, 1)에서는 1.8 · 4 · 1.8 = 12.96 대 12.8이다. 차이는 아주 작지만 언제나 양수인데, 이것은 바닥을 뚫고 지나가는 것이 아니라 스치듯 닿는 상황의 특징이다. 체계적인 훑기도 같은 말을 한다. a와 b를 10⁻³부터 10³까지 로그 간격으로 1200 × 1200개 잡아 표본을 만들면 좌변 빼기 우변이 단 한 번도 음수가 되지 않고, 비 (1+2a)(2+2b)(2a+b)/32ab가 1에 1.4 × 10⁻⁶ 이내로 접근하는 지점은 (1/2, 1)에 가장 가까운 표본점뿐이다. 0.4 ≤ a ≤ 0.6, 0.9 ≤ b ≤ 1.1 구간을 10⁻⁴ 간격으로 더 촘촘히 훑으면 좌변 빼기 우변의 최솟값은 정확히 0이고, 그 값은 (0.5, 1)에서만 나온다. 먼 쪽 거동도 일치한다. b를 고정한 채 a → 0^+이면 좌변은 (2+2b)b ＞ 0으로 가는데 우변은 0으로 가고, a → ∞이면 좌변은 8a²(1+b) 정도로 자라는데 우변은 32ab 정도로만 자란다. 축 근처에도 무한대 쪽에도 숨은 해가 없다는 뜻이다. 이제 보기를 정리하자. (E)는 해가 곡선을 이뤄야 하는데, 훑기 결과 고립된 한 점을 빼면 좌변이 우변보다 엄격히 크므로 그런 곡선은 없다. (C)와 (D)는 두 번째나 세 번째 쌍이 있어야 하는데, 등호 조건이 2a = 1과 2b = 2를 강제하고 각각의 해는 하나뿐이므로 두 번째 쌍은 불가능하다. 남는 것은 (B)뿐이다.

💡핵심 정리

한쪽이 다른 쪽 아래로 결코 내려갈 수 없다면, 그 등식은 풀라는 요구가 아니라 지금 바닥에 정확히 닿아 있다는 통보다. 그러면 바닥을 놓칠 수 있었던 이유를 하나도 남김없이 전부 꺼야 한다.

왼쪽은 합, 오른쪽은 곱
양수 두 개에 관한 사실 하나
세 인수에 하나씩 겨눈다
곱하면 바닥이 정확히 32ab에 닿는다
이 식은 푸는 것이 아니라 등호 조건이다
연립식을 풀고 비지 않았는지 확인한다