AMC 10 · 2023 · #3
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
5 ∣ k²이 5 ∣ k 를 강제한다는 것(5가 소수이기 때문)을 알아챈 순간, 조건을 만족하는 제곱수는 정확히 5², 10², 15², … — k 에 대해 깔끔한 규칙적 패턴이 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 틀을 잡습니다 — k = 5m 으로 두면 조건은 25 m² ＜ 2023. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 마무리 — m = 1, 2, 3, … 을 차례로 적어 경계를 넘는 첫 m 에서 멈추면 됩니다. 대수(#13)는 더 무겁고, 2023 미만 제곱수 44 개를 전부 검사하는 것은 낭비 — 패턴 + 나열 조합이 가장 자연스럽습니다.
밑에 대한 조건으로 바꾸기
밑도 5의 배수여야 합니다.
제곱수를 소인수로 들여다보면 "제곱을 나누는 소수는 이미 밑(base)을 나눈다" — 6학년 "자연수 지수가 들어간 식" 표준 그대로.
완전제곱수를 나누는 소수는 이미 제곱되기 전의 수를 나누고 있었어야 한다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 제곱해도 없던 소수가 생기지 않는다.
▸ 왜?
제곱은 각 인수를 두 번 쓸 뿐이므로, 제곱수 속의 모든 소수가 짝수 개로 나타난다.
범위 정하기
제한이 새 범위가 됩니다.
k 를 5m 으로 다시 이름 지으면 "k 가 5의 배수" 라는 패턴이 m 만 들어간 6학년 식으로 바뀌고, 나눗셈 조건은 사라집니다.
6.EE.B.6Look For A Pattern제곱수 나열하기
작은 제곱수를 나열해 봅니다.
1²부터 9² 까지를 외워 두는 것은 3학년 곱셈 유창성 표준 — 리스트가 저절로 만들어집니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List개수 세기
모두 8개입니다.
m 하나마다 허용되는 k = 5m 이 하나, 따라서 완전제곱수 25 m²도 하나 — 유효 m 을 세는 것이 곧 N 을 세는 것. 4학년 배수 세기 수준의 일.
4.OA.B.4Make A Systematic List이 AMC 12 문제는 사실 6학년 "제곱 안의 5는 밑에도 5가 있다" 사고만 알면 풀 수 있어요 — 5, 10, …, 40의 제곱, 딱 여덟 개!