AMC 10 · 2023 · #1
학년 5 rate-ratio fraction-arithmeticmean-median-mode-rangeratio-proportion easier-related-problemwork-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmean-median-mode-range
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
잔 세 개가 가득 차 있고 네 번째 잔에는 3분의 1만큼만 들어 있습니다. 네 잔이 모두 같은 양이 되도록 가득 찬 잔마다 같은 분량씩 네 번째 잔에 부어야 합니다. 그 분량을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1}{12}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$\frac{1}{6}$
(D)
$\frac{1}{8}$
(E)
$\frac{2}{9}$
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기
문제 안에 숨어 있는 더 쉬운 문제는 결국 "평균 구하기"입니다 — 모든 주스를 한데 모아 같은 크기의 잔 4 개에 똑같이 나누면 각 잔에 얼마가 들어갈까? 도구 #9가 "옮기는 양" 대신 "목표 높이"를 묻는 문제로 다시 짭니다. 목표 높이를 알면 도구 #11(거꾸로 풀기)이 마무리 — 가득 찬 잔은 1 에서 그 목표까지 줄어야 하므로, 따라낸 양은 두 값의 차입니다. 도구 #1로 네 개의 막대잔을 그려 두면 총량 보존이 그림으로 보입니다.
1STEP 1
전체 양 구하기
총량은 변하지 않습니다.
총량 = 1 + 1 + 1 + 1/3 = 10/3 잔
1을 세 번, 그리고 1/3을 더하는 것은 5학년 분수 덧셈.
5.NF.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
목표량 구하기
넷으로 나누면 목표량이 나옵니다.
잔당 목표 = 10/3/4 = 10/3 · 1/4 = 10/12 = 5/6
총량을 4 등분 — 분수를 자연수로 나누면 그만큼 작아진다는 5학년 개념.
전체를 네 잔에 고르게 나눈다는 것은 각 잔이 그 4분의 1을 받는다는 뜻이다.
▸ 왜?
4분의 1은 네 개의 같은 몫 가운데 하나이므로, 고르게 나눈다는 것이 바로 그 분수다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
▸ 왜?
주스는 네 잔을 모은 것 그대로이므로, 나뉘는 것은 그 총량이다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
덜어낼 양 구하기
가득 찬 잔에서 뺀 만큼이 답입니다.
x = 1 - 5/6 = 6/6 - 5/6 = 1/6
시작(1)과 끝(5/6)을 알면 빠진 조각은 그냥 뺄셈.
5.NF.A.1Work Backwards4STEP 4
확인하기
확인하면 6분의 1입니다.
1/3 + 3 · 1/6 = 2/6 + 3/6 = 5/6 → (C)
높이 5/6의 막대 네 개를 그려 보면 옮기기가 맞게 분배됨이 보입니다.
5.NF.A.2Draw A Diagram정답
1/6
크기 점검. 4번 잔이 모자란 양은 5/6 - 1/3 = 1/2 잔. 이 부족분을 세 잔에서 똑같이 메우면 1/2 ÷ 3 = 1/6 씩 — 답과 일치. 또 1/6은 작아서 가득 찬 잔에도 5/6이 남으므로 물리적으로도 자연스러움.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 5학년 분수 나누기만 알면 풀 수 있어요 — 주스를 모두 모아 4로 나눈 뒤, 그 목표보다 많은 만큼만 따라내면 끝!