AMC 10 · 2023 · #14

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

polynomial-rootsvieta-formulasrational-root-theoremfactorssystematic-enumeration work-backwardssystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: polynomial-factoringfactors

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

최고차항 계수가 1이고 상수항이 6인 삼차식이 있습니다. 가운데 두 계수만 자유롭고 둘 다 정수여야 합니다. 이 삼차식이 서로 다른 세 정수 근을 갖게 하는 계수 쌍이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

개수를 묻는 문제인데 a나 b의 범위를 잘라낼 조건이 없으므로, 답은 결국 목록의 길이 그 자체다. 그러니 빠짐도 겹침도 없는 목록을 만드는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 문제의 본체다. 다만 나열할 만한 목록을 얻으려면 준비가 두 가지 필요하다. 도구 #4(변수 도입하기)로 근에 p,q,r라는 이름을 붙이고, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 문제의 방향을 뒤집는다. 계수를 정하고 근을 찾는 대신, 근을 정하면 전개한 식이 a와 b를 돌려주게 만드는 것이다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 나열을 시작하기도 전에 근의 후보를 6의 약수 여덟 개로 줄이고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 나열 자체를 쉽게 만든다. 부호를 뺀 문제, 즉 6을 양의 정수 세 개의 곱으로 쓰는 문제를 먼저 풀고 부호는 나중에 붙이면 된다.

1STEP 1

근의 후보 좁히기

근은 상수항의 약수여야 합니다.

6=-r(r²+ar+b) → r ∣ 6 → r∈{± 1,± 2,± 3,± 6}

2STEP 2

근으로 삼차식 다시 세우기

세 근으로 삼차식을 다시 세웁니다.

x³+ax²+bx+6=(x-p)(x-q)(x-r)

3STEP 3

계수 맞추기

계수를 맞추면 곱이 정해집니다.

(x-p)(x-q)(x-r)=x³-(p+q+r)x²+(pq+qr+rp)x-pqr → a=-(p+q+r), b=pq+qr+rp, pqr=-6

4STEP 4

크기부터 정하기

부호를 빼고 크기부터 정합니다.

|p| |q| |r|=6 → {|p|,|q|,|r|}={1,1,6} 또는 {1,2,3}

5STEP 5

부호 다시 붙이기

곱이 맞도록 부호를 붙입니다.

{-1,2,3}, {1,-2,3}, {1,2,-3}, {-1,-2,-3}, {-1,1,6}

6STEP 6

각 집합에서 계수 읽기

각 근 집합이 계수 쌍 하나를 줍니다.

(-6,-1), (-4,1), (-2,-5), (0,-7), (6,11)

7STEP 7

겹침 확인하고 세기

겹치는 것이 없어 5개입니다.

5개의 근 집합 ⇔ 5개의 쌍 (a,b) → (A)

정답

따로 전부 훑어봐도 개수는 그대로다. 모든 근은 6의 약수이므로 세 근은 ± 1,± 2,± 3,± 6 여덟 개에서 나오고, 여기서 세 개를 고르는 C(8, 3)=56가지를 모두 확인하면 곱이 -6인 것은 정확히 다섯 가지, 앞에서 찾은 그 다섯이다. 하나만 되짚어 보면 근이 -1,1,6일 때 (x+1)(x-1)(x-6)=x³-6x²-x+6이므로 상수항이 실제로 6이고 a=-6, b=-1로 계산한 값과 맞는다. 56가지 중 다섯이라는 비율도 그럴듯하다. 아무렇게나 고른 약수 세 개의 곱이 하필 -6이 되는 일은 드물기 때문이다. 오답 선택지는 각각 특정한 실수의 모양이다. '서로 다른'을 무시하면 {1,1,-6}과 {-1,-1,-6}이 추가로 통과해 쌍 (4,-11)과 (8,13)이 늘어나 7개가 되는데 이것이 (D)이고, 둘 중 하나만 알아채면 6개, 즉 (B)가 된다. 반대로 문제에 있지도 않은 조건인 '세 근의 크기 |p|,|q|,|r|가 서로 달라야 한다'를 스스로 붙이면 1 · 1 · 6 꼴이 통째로 사라져 4개, 즉 (E)가 남는다. (C)의 8은 쌍의 개수가 아니라 근 후보의 개수다.

💡핵심 정리

계수를 마음대로 정할 수 있어서 뒤질 수가 없다면, 계수를 찾지 말고 근으로 삼차식을 만들어라. 고정된 계수 하나가 어떤 근이 가능한지 알려준다.

근이 될 수 있는 수는 6의 약수뿐
근에 이름 붙여 삼차식 다시 세우기
계수를 맞추고 방향 뒤집기
부호는 나중에, 크기부터
부호 다시 붙이기
각 집합에서 (a,b) 읽어내기
겹치는 것이 없는지 확인하고 세기