AMC 10 · 2023 · #15
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
세 개의 독립적인 참/거짓 질문이 한 문제 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 전형. 먼저 양변에 210을 곱해 c = 15a + 14b 로 정리한 뒤 각 명제를 따로 검증합니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 반례 하나면 I 을 죽이고, 도구 #13(대수로 바꾸기) — 특히 mod 2, 3, 5, 7 환산 — 으로 III 을 양방향 증명. II 는 "and → or" 라는 논리로 자동 따라옴.
분모 없애기
분모를 없애 정수 관계로 만듭니다.
c = 15a + 14b 가 분수보다 다루기 훨씬 쉬움 — 15 = 3 · 5, 14 = 2 · 7의 서로소 분리가 소수별로 깔끔히 갈리리라는 신호.
6.NS.B.4Convert To Algebra반례 찾기
반례 하나가 한 진술을 무너뜨립니다.
보편 명제는 반례 하나면 끝 — a 로 가정을 채우고, b 로 c 에 금지된 소수를 슬쩍 끼워 넣음.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities소수별로 확인하기
각 소수에서 나머지를 확인합니다.
c = 15a + 14b 를 각 소수로 환산하면 두 항 중 하나가 사라져 한 변수만 보면 됨 — 케이스마다 한 줄 점검.
그 식을 각 소수로 나눈 나머지로 보면 두 항 가운데 하나가 사라지므로, 한 변수가 조건 전부를 진다.
▸ 왜?
나눈 나머지만 살아남으므로, 그 소수의 배수인 항은 사라진다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 소수를 하나씩 간섭 없이 시험할 수 있다.
남은 둘 증명하기
관계식이 남은 둘을 보장합니다.
14b 항은 mod 14 에서 0, 15 ≡ 1 (mod 14) 이므로 gcd(c, 14) = gcd(a, 14) — 반대편도 같은 요령.
6.NS.B.4Identify Subproblems보기 고르기
답은 둘째와 셋째만입니다.
논리에서 "and" 가 "or" 보다 강함 — 어려운 "and" 를 III 으로 증명했으니 약한 "or" 인 II 는 덤.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities양변에 210을 곱하면 c = 15a + 14b. 각 소수 2, 3, 5, 7에 대해 mod 환산하면 두 항 중 하나가 사라지므로 gcd(c, 210) = 1은 gcd(a, 14) = gcd(b, 15) = 1과 동치 (명제 III). 그 "and" 가 II 의 "or" 를 자동으로 함의하지만, I 은 a = 1, b = 3 에서 c = 57 (3의 배수)로 깨짐. 답: (E) II 와 III 만.