AMC 10 · 2023 · #16
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
유명한 두 동전 공식 ab - a - b 는 여기서 쓸 수 없습니다. 그 공식은 서로소인 두 값에만 성립하는데, 여기서는 모든 쌍이 공약수를 가집니다(gcd(6,10) = 2, gcd(6,15) = 3, gcd(10,15) = 5). 동전이 셋이면 아예 공식 자체가 없으므로 답을 직접 만들어야 합니다. 핵심은 도구 #15(다르게 정리하기)입니다 — 가격을 1, 2, 3, … 크기순으로 늘어놓는 대신 6으로 나눈 나머지로 분류해 여섯 개의 "차선" 으로 정리합니다. 6 센트 동전 하나를 더하면 같은 차선 안에서 한 칸 위로만 움직이므로, 각 차선은 어느 지점까지는 낼 수 없고 그 지점부터는 계속 낼 수 있는 구조가 됩니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 N = 6a + 10b + 15c 를 세우고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 여섯 차선 각각의 최저 지불 가능 금액을 찾고, 도구 #14(극단의 원리)로 여섯 개의 빈틈 중 최대값을 고르고, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 29는 안 되고 30부터 35는 모두 된다는 것을 직접 확인하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 자리 숫자 합을 선택지와 맞춥니다.
지불 가능을 식으로
지불 가능을 식으로 씁니다.
딱 맞게 낸다는 건 동전 더미로 N 에 정확히 착지한다는 뜻 — 거스름돈이 없으니 무엇도 뺄 수 없습니다.
6.EE.B.6Convert To Algebra6센트는 일방통행
한 번 되면 계속 됩니다.
6 센트 동전을 더해도 나머지는 그대로이고 한 칸 위로만 가므로, 각 차선은 어느 지점 아래는 전부 막히고 그 위는 전부 뚫린 반직선입니다.
6센트짜리 동전은 같은 나머지 줄에 머무르게 하면서 그 줄을 한 걸음 올려 준다.
▸ 왜?
6의 배수를 더해도 6으로 나눈 나머지는 그대로다.
▸ 왜?
한 줄을 오르는 걸음은 언제나 같은 크기이므로, 각 줄은 첫 항이 있는 고르게 늘어선 목록이다.
차선 바꾸는 동전
나머지가 차선처럼 값을 나눕니다.
나머지의 눈에 6 센트 동전은 보이지 않습니다. 차선의 입구는 10과 15 만이 만들 수 있고, 목록에서 처음 나오는 것이 곧 최저 입구입니다.
6.NS.B.2Organize Information In More Ways차선마다 최저 입구 찾기
각 차선의 최저 입구를 찾습니다.
차선 5가 가장 고집스럽습니다. 나머지가 5 인 가격은 홀수라 15를 홀수 개 써야 하는데, 15 한 장으로 나머지 5에 닿으려면 10이 두 장 더 필요합니다 — 그게 15 + 10 + 10 = 35.
4.OA.B.4Make A Systematic List각 차선의 마지막 빈틈
마지막 빈틈은 입구보다 6 아래입니다.
전체에서 가장 큰 빈틈은 가장 늦게 열리는 차선에 있을 수밖에 없고, 그 문에서 정확히 6 한 걸음 아래에 있습니다.
6.EE.B.8Extreme Principle경계 확인하기
그 위로는 모두 가능함을 확인합니다.
연속한 여섯 개의 지불 가능 금액이 여섯 나머지 차선을 동시에 덮으므로, 30 부터는 빠지는 금액이 하나도 없습니다.
4.OA.A.3Guess And Check자릿수 더하기
자릿수를 더하면 11입니다.
문제는 x 가 아니라 x 의 자리 숫자를 묻습니다. 마지막 한 수는 정수론이 아니라 자릿값 읽기입니다.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities동전 하나가 6 센트이므로, 모든 가격을 6으로 나눈 나머지에 따라 여섯 차선으로 정리하세요. 차선은 자기 최저 지불 가능 금액에서 열리면 그 뒤로 계속 열려 있으므로, 낼 수 없는 마지막 금액은 가장 늦게 열리는 차선의 문에서 6 아래에 있습니다: 35 - 6 = 29, 그리고 2 + 9 = 11.
- 지불 가능을 식으로 쓰기
- 6센트 동전은 일방통행 한 칸
- 차선을 바꾸는 건 10과 15뿐
- 차선마다 최저 입구 찾기
- 각 차선의 마지막 빈틈은 6 아래
- 29는 안 되고 30부터는 된다
- 자리 숫자 더하기