AMC 10 · 2023 · #18
학년 7 algebralogic답을 골라 클릭하세요.
다섯 진술은 모두 하나의 수, 즉 D = Y_avg - Z_avg에 관한 이야기다. 그러니 진짜 질문은 'D 가 가질 수 있는 값이 어디까지인가'이다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 세 문장을 세 식으로 옮기면 숨어 있던 대칭이 드러난다. 젤다도 똑같이 18점 올랐다는 사실이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 퀴즈 개수 네 개에 이름을 붙이는데, 이 문제의 어려움은 전부 여기에 있다. 학년 평균은 가중평균이고, 두 사람의 학기별 가중치가 다를 수 있다. 그러면 D = 3 + 18(w_Y - w_Z)로 압축되고, 여기서 각 w 는 그 사람의 퀴즈 중 2학기에 속한 비율이다. 이제 도구 #14(극단의 원리)가 결정타를 날린다. w_Y 와 w_Z 를 각각 경계까지 밀어붙여 D 의 최댓값과 최솟값을 잡는다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 가능한 네 진술 각각에 대해 구체적인 퀴즈 개수와 점수를 만들어 보이고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 넷을 지우면 범위 밖에 있는 하나만 남는다.
세 문장을 식으로
세 문장이 세 식이 됩니다.
두 학기 모두 욜란다가 젤다보다 정확히 3점 앞서 있으니, 욜란다가 올린 만큼 젤다도 똑같이 올랐다는 뜻이다.
6.EE.B.6Convert To Algebra학년 평균은 가중평균
학년 평균은 가중평균입니다.
퀴즈가 많은 학기가 학년 평균을 자기 쪽으로 더 세게 끌어당긴다. 퀴즈는 표이고, 한 학기가 다른 학기를 표로 이길 수 있다.
시험을 더 많이 치른 학기가 연간 평균을 자기 점수 쪽으로 더 세게 끌어당긴다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 각 시험이 총합에도 개수에도 한 번씩 들어간다.
▸ 왜?
한 학기가 보태는 몫은 그 학기가 차지한 시험의 비율에 발맞추어 오르므로, 그 비율이 무게가 된다.
기준값 더하기 몫으로 쓰기
각 평균을 기준값 더하기 몫으로 씁니다.
1년의 절반이 지난 뒤에 18점짜리 인상을 받으면 연간 수치는 18의 절반만 올라간다. 인상분은 인상 이후 기간의 비율만큼만 반영된다.
7.EE.A.1Introduce A Variable연간 격차 하나의 식
격차가 하나의 식으로 정리됩니다.
욜란다는 3점을 확보하고 시작한다. 그 우위를 키우거나 깎아먹을 수 있는 것은 누가 점수 높은 학기에 퀴즈를 더 많이 몰아 봤느냐뿐이다.
7.EE.A.1Convert To Algebra비율을 극단까지 밀기
비율을 극단까지 밀어 범위를 얻습니다.
최선의 경우는 욜란다가 점수 높은 학기에 퀴즈를 몰아 보고 젤다는 점수 낮은 학기에 몰아 본 것인데, 그래봐야 기본 3점 위에 18점을 더 얹는 게 전부다.
6.RP.A.3Extreme Principle가능한 진술마다 예시 만들기
가능한 진술마다 실제 예를 만듭니다.
가능하다는 것을 보이려면 예시 하나면 충분하니, 편한 숫자를 고르고 퀴즈 개수를 정직하게 세면 된다.
6.SP.B.5Guess And Check불가능한 하나 남기기
범위를 넘는 진술은 22점 차이뿐입니다.
욜란다의 연간 우위에는 21이라는 천장이 있고, 22는 그 바로 위에 놓여 있다.
7.EE.B.4Eliminate Possibilities학년 평균은 가중평균이라, 똑같은 18점 향상도 그 뒤에 퀴즈를 더 많이 본 사람에게 더 크게 반영된다. 그런데 그 지렛대가 욜란다의 고정된 3점 우위 위에 얹어줄 수 있는 건 최대 18점뿐이라, 연간 격차는 21점을 결코 넘지 못한다.
- 세 문장을 식으로 옮기기
- 학년 평균은 가중평균이다
- 평균을 '기준값 + 18의 몫'으로 다시 쓰기
- 연간 격차를 하나의 식으로
- 비율을 극단까지 밀어보기
- 가능한 진술마다 실제 예시 만들기
- 넷을 지우고 불가능한 하나를 남기기