AMC 10 · 2023 · #20

학년 11 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

geometric-probabilitydouble-angle-formulatrigonometric-ratiosrotation-isometry easier-related-problemsymmetry-argumentconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basictrigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

개구리가 한 점에서 시작해 2만큼 뛰고 다시 2만큼 뜁니다. 두 방향은 모든 방향에서 독립적으로 고르게 뽑힙니다. 마지막 위치가 출발점에서 1보다 가까울 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{6}$

(B)

$\frac{1}{5}$

(C)

$\frac{\sqrt{3}}{8}$

(D)

$\frac{\arctan \frac{1}{2}}{\pi}$

(E)

$\frac{2\arcsin \frac{1}{4}}{\pi}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

방향이 두 개라 변수도 둘일 것 같지만, 답을 좌우하는 것은 하나뿐입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 이 점을 분명히 해 줍니다. 그림 전체를 돌려도 출발점까지의 거리는 변하지 않으므로, 첫 점프를 동쪽으로 고정하면 무작위인 것은 두 번째 방향뿐입니다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 모든 것을 결정하는 하나의 양, 즉 두 점프 방향이 이루는 각 θ 를 이름 붙입니다. 핵심은 이 θ 가 여전히 2π 전체에 균등하다는 사실입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 거리를 θ 의 식으로 만들고, 마무리는 도구 #16(관점 바꾸기) — 성공하는 도착점의 영역을 쫓는 대신, 성공하는 θ 의 크기를 재서 2π 로 나눕니다. 마지막 위험은 도구 #3(가능성 지우기)이 정리합니다. 답이 1/6과 불편할 만큼 가까우므로, 확정하기 전에 소수로 확인해야 합니다.

1STEP 1

사이 각만 문제

두 점프의 사이 각만 문제입니다.

표본공간 = {θ : 0 ≤ θ ＜ 2π}, θ 는 균등

2STEP 2

좌표로 옮기기

두 점프를 좌표로 옮깁니다.

S = (0,0), P₁ = (2, 0), P₂ = (2 + 2cosθ, 2sinθ)

3STEP 3

거리의 제곱 계산

거리의 제곱이 깔끔하게 줄어듭니다.

d² = (2 + 2cosθ)² + (2sinθ)² = 4 + 8cosθ + 4cos²θ + 4sin²θ = 8 + 8cosθ

4STEP 4

반각으로 정리

반각 공식이 코사인 하나로 만듭니다.

d² = 8 + 8cosθ = 16cos² (θ/2) → d = 4|cos (θ/2)|

5STEP 5

성공 조건 다시 쓰기

조건이 부등식 하나가 됩니다.

4|cos (θ/2)| ＜ 1 ⇔ |cos (θ/2)| ＜ 1/4

6STEP 6

성공하는 각 재기

성공하는 각의 구간을 잽니다.

|cos u| ＜ 1/4 ⇔ u ∈ (arccos1/4, π - arccos1/4), 길이 = π - 2arccos1/4 = 2arcsin1/4

7STEP 7

원 전체로 나누기

원 전체로 나눕니다.

P = 4arcsin1/4/2π = 2arcsin1/4/π

8STEP 8

소수로 확인하기

소수로 확인하면 아크사인이 든 식이 맞습니다.

P = 2arcsin1/4/π ≈ 0.1609 → (E)

정답

(2 arcsin 1/4)/π

서로 독립적인 세 가지 점검이 모두 맞아떨어집니다. (1) 범위 — 최종 거리는 [0, 4]를 훑고, 거의 완전히 되돌아오는 각에서만 반지름 1 안에 들어오므로 확률이 1/4 보다 한참 작아야 하는데, 0.1609가 여기에 맞습니다. (2) 거친 비교 — 거리가 [0,4]에 균등했다면 답은 1/4 이겠지만, d = 4|cos (θ/2)| 는 결과를 양 끝으로 몰아 주므로 참값이 1/4 보다 다소 작은 것이 맞습니다. (3) 두 번째 정확한 경로 — SP₁ = P₁P₂ = 2 인 삼각형 S P₁ P₂ 에서 경계 상황 SP₂ = 1에 코사인법칙을 쓰면 1 = 4 + 4 - 8cosβ 이므로 cosβ = 7/8이고, 성공하는 내각의 집합은 크기가 2arccos7/8이라 P = arccos7/8/π가 됩니다. cos(2arcsin1/4) = 1 - 2(1/4)² = 7/8 이므로 이는 같은 수, 약 0.1609입니다. 아슬아슬한 (A) 1/6 ≈ 0.1667은 반올림해 버린 사람을 노린 함정이고, (D)는 arctan 을 써서 0.1476 이라는 전혀 다른 값이 됩니다.

💡핵심 정리

무작위 방향 두 개가 담은 사실은 사실 하나, 둘 사이의 각뿐입니다. 그러니 첫 점프를 고정하고 거리를 4|cos (θ/2)| 로 쓰면, 확률은 그 거리가 1 보다 작아지는 각이 원에서 차지하는 몫이 됩니다.

두 점프가 이루는 각만이 문제
두 점프를 좌표로 옮기기
거리의 제곱이 깔끔하게 줄어듦
반각으로 코사인 하나가 됨
성공 조건을 부등식으로
arcsin 으로 성공하는 각 재기
성공하는 호를 원 전체로 나누기
소수로 아슬아슬한 오답 걸러내기