AMC 10 · 2023 · #22

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

functional-equationfunction-evaluationexponential-functionperiodic-function easier-related-problemguess-and-checkextreme-principle ↑ 선수 지식: function-evaluationexponents

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트

문제

어떤 함수가 모든 실수를 실수로 보내며 두 수의 합과 차에서의 함숫값의 합이 각 함숫값의 곱의 두 배와 같다는 규칙을 모든 실수 쌍에서 만족합니다. 다섯 보기 중에서 이 함수가 1에서 결코 가질 수 없는 값을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

-1

(D)

(E)

-2

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

모든 a, b에 대해 성립하는 등식은 무한히 많은 방정식이 쌓인 더미이고, 더미를 통째로 다룰 방법은 없다. 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 입구가 된다. 전체 명제를 풀 수 있을 만큼 쉬운 두세 개의 구체적인 경우로 바꿔 놓는 것이다. a=b=0은 f(0)을 확정하고, b=0은 한쪽 갈래를 그 자리에서 끝내며, a=b=x는 두 배 규칙 f(2x) = 2f(x)²-1을 만들어 낸다. 이어서 도구 #14(극단의 원리)가 그 규칙의 바닥을 읽는다. 제곱은 음수가 될 수 없으므로 오른쪽 변은 -1 아래로 내려가지 못하는데, 이것이 문제가 시험하는 바로 그 한계선이다. 여기서 선택지 하나가 죽는다. 다만 '될 수 없는 값' 문제는 후반부가 남는다. 살아남은 네 값이 실제로 도달 가능함을 보여야 하기 때문이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 그 증거를 공급한다. 상수함수 둘, 코사인 하나, 지수의 평균 하나를 원래 등식에 직접 대입해 확인한다. 도구 #3(가능성 지우기)은 한계선과 네 개의 증거를 맞물려 정확히 하나만 남게 하는 정리 작업이다.

1STEP 1

0을 대입하기

0에서의 값이 두 가지뿐입니다.

a=b=0: f(0)+f(0) = 2f(0)² ⟹ f(0)²-f(0)=0 ⟹ f(0)(f(0)-1)=0 ⟹ f(0)∈{0,1}

2STEP 2

한 세계는 통째로 0

한 경우는 함수가 통째로 0이 됩니다.

f(0)=0, b=0: f(a)+f(a) = 2f(a)f(0) = 0 ⟹ 모든 a 에 대해 f(a)=0 ⟹ f(1)=0

3STEP 3

두 변수를 같게 놓기

같게 놓으면 두 배 규칙이 나옵니다.

f(0)=1, a=b=x: f(2x)+f(0)=2f(x)² ⟹ f(2x) = 2f(x)²-1

4STEP 4

제곱이 만드는 바닥

제곱 때문에 바닥이 생깁니다.

f(x)² ≥ 0 ⟹ f(2x)=2f(x)²-1 ≥ -1 (모든 x), x=1/2: f(1)=2f (1/2)²-1 ≥ -1

5STEP 5

두 세계가 같은 바닥

두 경우 모두 같은 바닥을 갖습니다.

f(0)=0 → f(1)=0; f(0)=1 → f(1) ≥ -1 ⟹ 항상 f(1) ≥ -1, -2 ＜ -1

6STEP 6

상수함수로 두 값 만들기

상수함수가 두 값을 만들어 냅니다.

f≡ 0: 0+0=2(0)(0), f(1)=0; f≡ 1: 1+1=2(1)(1), f(1)=1

7STEP 7

코사인으로 한 값 만들기

코사인이 또 한 값을 만듭니다.

f(x)=cos(π x): cos(π a+π b)+cos(π a-π b) = 2cos(π a)cos(π b), f(1)=cosπ=-1

8STEP 8

지수의 평균으로 마무리

남는 것은 바닥 아래인 마이너스 2입니다.

f(x)=(t^x+t^-x)/2: 2f(a)f(b) = (t^a+b+t^-a-b)/2 + (t^a-b+t^b-a)/2 = f(a+b)+f(a-b); t=2+√(3): f(1)=((2+√(3))+(2-√(3)))/2=2

정답

-2

증거로 든 함수는 모두 직접 검산해도 살아남는다. f(x)=cos(π x)에서 a=0.4, b=0.9를 넣으면 좌변은 cos(1.3π) + cos(-0.5π) = -0.587785 + 0 = -0.587785이고 우변은 2cos(0.4π)cos(0.9π) = 2(0.309017)(-0.951057) = -0.587785로 표시된 자리까지 일치한다. 같은 검사를 무작위 쌍 (a,b) 수천 개에 대해 반복해도 반올림 오차를 넘어서는 차이는 나오지 않으며, 상수함수와 지수의 평균도 똑같이 통과한다. t = 2+√(3)인 f(x)=(t^x+t^-x)/2의 x=0,1,2,3에서의 값은 1, 2, 7, 26인데, 이는 두 배 규칙과 원래 등식이 요구하는 값과 정확히 같다. f(2) = 2(2)²-1 = 7이고 f(3) = 2f(2)f(1) - f(1) = 28 - 2 = 26이며, 직접 계산해도 t² = 7+4√(3)과 t⁻² = 7-4√(3)의 평균이 7이다. 바닥선도 주장한 대로 작동한다. cos(π x)가 f(1) = -1에 도달하는 이유는 f (1/2) = cosπ/2 = 0이어서 제곱이 사라지기 때문이고, 이는 f(1) ≥ -1이라는 한계가 느슨한 어림이 아니라 딱 맞는 값임을 보여 준다. 딱 맞는 한계이므로 그 아래는 어떤 방법으로도 구제되지 않고 -2는 불가능한 채로 남는다.

💡핵심 정리

규칙이 모든 a와 b에 대해 성립해야 한다면 그 둘을 내가 고를 수 있다. a=b로 놓으면 규칙은 f(2x) = 2f(x)²-1이 되고, 제곱은 이 값을 결코 -1 아래로 끌어내리지 못한다.

0을 대입해 f(0) 확정하기
f(0)=0인 세계는 통째로 무너진다
a와 b를 같게 놓아 두 배 규칙 얻기
제곱은 -1 아래로 내려가지 못한다
두 세계가 같은 바닥을 공유한다
상수함수 둘이 0과 1을 만든다
코사인이 -1을 만든다
지수의 평균이 2를 만든다