AMC 10 · 2023 · #24
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
곱셈에 관한 일곱 조건이 네 미지수를 한데 얽어 놓았고, 수를 수인 채로 두는 한 손댈 곳이 없다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이 문제의 전부다. 수 대신 소인수의 지수로 옮겨 가면 일곱 조건이 서로를 전혀 언급하지 않는 세 개의 퍼즐로 흩어진다. 2에 대한 퍼즐, 3에 대한 퍼즐, 5에 대한 퍼즐이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 지수 열두 개에 이름을 붙여 그 전환을 가능하게 한다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 번역에 쓸 사전을 마련한다. 곱하면 지수는 더해지고, 최소공배수는 큰 지수를 가져가고, 최대공약수는 작은 지수를 가져간다. 각각의 작은 퍼즐 안에서는 도구 #14(극단의 원리)가 가장 빡빡한 조건부터 손을 댄다. 가장 낮은 천장이 다른 수들을 붙잡아 주기 때문이다. 도구 #3(가능성 지우기)은 낮게 눌린 수를 높은 최댓값 후보에서 지워 낸다. 마지막으로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 각 소수마다 살아남은 몇 개의 지수 네 쌍을 훑고, 그 과정에서 어떤 쌍을 고르든 답이 달라지지 않음까지 확인해 준다.
지수 세 개로 바꾸기
각 수를 지수 세 개로 바꿉니다.
2, 3, 5만으로 만들어진 수는 각각을 몇 개씩 가졌는지만 말하면 완전히 설명된다.
4.OA.B.4Introduce A Variable연산을 지수로 옮기기
곱은 더하기, 최소공배수는 최댓값입니다.
최소공배수와 최대공약수는 수 위에서는 복잡해 보이지만 지수 위에서는 '큰 쪽 고르기'와 '작은 쪽 고르기'일 뿐이다.
지수에서 최소공배수는 큰 쪽을, 최대공약수는 작은 쪽을 고르는 일일 뿐이다.
▸ 왜?
공배수는 각 수 못지않게 소수를 지녀야 하고, 공약수는 그보다 많을 수 없다.
▸ 왜?
각 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 소수끼리 서로 간섭하지 않는다.
소수 셋, 퍼즐 셋
소수마다 독립된 퍼즐이 됩니다.
2의 개수와 3의 개수를 묶는 조건이 하나도 없으니, 둘을 함께 풀 이유도 없다.
6.EE.A.1Identify Subproblems첫 소수 풀기
가장 낮은 천장부터 시작합니다.
가장 낮은 천장이 가장 많은 것을 알려 준다. 한 수가 낮게 눌리는 순간, 그 수가 낀 더 높은 최댓값은 모두 짝이 감당해야 한다.
6.EE.B.8Extreme Principle둘째 소수 풀기
낮은 천장이 값을 강제합니다.
높은 최댓값의 후보에서 두 수를 지워 버리면, 그 높은 값은 남은 두 수 말고는 앉을 자리가 없다.
6.EE.B.5Eliminate Possibilities셋째 소수 풀기
셋째 소수도 같은 방식입니다.
세 쌍의 최댓값이 모두 2라면 한 수만으로는 감당할 수 없다. 세 쌍 각각에 2가 하나씩 들어 있어야 하기 때문이다.
7.EE.B.4Make A Systematic List소수별로 답 조립하기
조립하면 3입니다.
세 문제를 따로 풀었으니 답도 소수 하나씩 다시 붙여 만들어야 한다.
6.NS.B.4Identify Subproblems곱셈과 최소공배수, 최대공약수로 짜인 문제라면 수를 그대로 보지 말고 소인수의 개수를 세어 보라. 소수 하나하나가 독립된 작은 퍼즐이 되고, 최소공배수는 그저 '큰 쪽 개수 고르기'가 된다.
- 각 수를 지수 세 개로 바꾸기
- 곱하면 더해지고, lcm은 큰 쪽
- 소수 셋, 퍼즐 셋
- 소수 2: 가장 낮은 천장부터
- 소수 3: 낮은 천장 하나가 3을 둘 만든다
- 소수 5: 셋 중 둘은 반드시 2
- 소수별로 답을 다시 조립하기