AMC 10 · 2023 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Fold Maps One Named Point Onto Another

regular-pentagongolden-ratiopaper-foldingsimilar-figuresreflection-symmetry physical-representationidentify-subproblemsreflection-unfolding ↑ 선수 지식: paper-foldingsimilar-figures

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

넓이가 주어진 정오각형에서 시작합니다. 다섯 꼭짓점을 각각 중심으로 접으면 다섯 개의 접힌 선이 생기고 그것들이 더 작은 정오각형을 둘러쌉니다. 그 안쪽 오각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4-\sqrt{5}$

(B)

$\sqrt{5}-1$

(C)

$8-3\sqrt{5}$

(D)

$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

(E)

$\frac{2+\sqrt{5}}{3}$

풀이 과정

전략 직접 만져보기

도구 #10(직접 만져보기)가 핵심 — 종이 정오각형을 실제로 접어 보면 접힘선들이 어떤 모양을 만드는지 보입니다. 결과는 같은 중심을 공유하는 더 작은 정오각형. 도구 #1(그림) — O 중심, 꼭짓점 V, 선분 OV, 그 수직이등분선인 접힘선을 표시. 도구 #7(쪼개기)가 '새 넓이' 를 (i) 두 오각형의 선형 비 구하기 → (ii) 비를 제곱해 주어진 넓이에 곱하기 로 분리. 도구 #16(관점 바꾸기)가 깔끔한 선형 차원으로 작은 오각형의 내접원반지름 vs 큰 오각형의 내접원반지름을 선택.

1STEP 1

접힌 선의 정체

접힌 선은 수직이등분선입니다.

V 의 접힘선 = {OV 의 수직이등분선}

2STEP 2

안쪽 오각형의 내접원

내접원 반지름이 절반이 됩니다.

r_s = R/2

3STEP 3

바깥 오각형의 내접원

바깥 내접원 반지름도 구합니다.

r = R cos 36^°

4STEP 4

두 반지름의 비

두 반지름의 비를 냅니다.

r_s/r = 1/(2 cos 36^°)

5STEP 5

넓이의 비 구하기

제곱하면 넓이의 비입니다.

넓이_s/넓이_큰 = 1/(4 cos² 36^°)

6STEP 6

삼각함수 값 정리하기

코사인 값을 정리합니다.

넓이_s/넓이_큰 = (3 - √(5))/2

7STEP 7

넓이 계산하기

곱하면 루트5 빼기 1입니다.

넓이_s = (√(5) + 1) · (3 - √(5))/2 = √(5) - 1 → (B)

정답

√(5)-1

세 점검. (1) 켤레 인수 (√(5) + 1)(√(5) - 1) = 5 - 1 = 4 — 큰·작은 넓이 곱이 정수 4 라는 깔끔한 항등식, 정답 가능성 강한 신호. (2) 수치: 넓이_큰 ≈ 3.236, 넓이_s ≈ 1.236, 비 ≈ 0.382 = (3 - √(5))/2 ✓. (3) 안쪽 오각형은 원래보다 작아야 하고 (1.236 ＜ 3.236) 그렇다. (B) √(5) - 1이 답.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 8학년 제곱근 대수만 있으면 풀려요 — 정오각형의 다섯 꼭짓점을 중심으로 접으면 각 접힘선이 OV 의 수직이등분선이라 작은 오각형의 내접원반지름은 정확히 R/2. 큰 오각형의 내접원반지름은 R cos 36^°. 넓이 비 1/(4cos² 36^°)가 cos 36^° = (1+√5)/4로 (3 - √(5))/2가 되고, (√(5)+1) · (3 - √(5))/2 = √(5) - 1, 선택지 (B).