AMC 10 · 2023 · #7
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
이 문제에서 계산할 값은 하나도 없다. 식이 존재할 수 있는 조건을 따지는 것이 문제 전체다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 그 조건을 서로 독립인 셋으로 나눈다. 로그가 정의되어야 하고, 분모가 0이 아니어야 하며, 근호 안이 음수가 아니어야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)가 가장 큰 일을 한다. log n이라는 덩어리가 세 번 나오므로 그것을 t라 이름 붙이면 로그 문제가 유리부등식 (t(2-t))/(t-3) ≥ 0이라는 평범한 대수 문제로 바뀐다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 그 부등식을 부호표로 처리한다. 근들이 수직선을 네 구간으로 자르고, 구간마다 시험값 하나면 결판이 난다. 마지막으로 도구 #14(극단의 원리)가 정답과 함정을 가른다. 이 문제의 오답은 모두 경계점 처리 실수에서 나오므로 t = 0, t = 2, t = 3을 하나씩 손으로 확인한다.
실수가 될 조건을 모두 적기
실수가 될 조건을 모두 적습니다.
어떤 값이 음수가 아닌지 따지기 전에, 그 값이 애초에 정의되는지부터 확인한다.
9.F-IF.A.1Identify Subproblems로그에 t라는 이름 붙이기
로그에 이름을 붙입니다.
반복해서 나오는 log n에 이름 하나를 붙이면 로그 문제가 보통의 유리부등식으로 바뀐다.
11.F-LE.A.4Introduce A Variable부호표 만들기
부호표를 만듭니다.
곱이나 나눗셈의 부호는 인수 중 하나가 0이 되는 곳에서만 뒤집히므로, 그 지점들만이 살펴볼 가치가 있는 경계다.
곱이나 몫은 인수 가운데 하나가 0이 되는 곳에서만 부호가 바뀌므로, 경계는 그 점들뿐이다.
▸ 왜?
곱은 인수가 0일 때만 0이며, 다른 어디에서도 값이 축을 가로지를 수 없다.
▸ 왜?
이웃한 두 경계 사이에서는 부호가 바뀌지 않으므로, 시험값 하나가 그 구간 전체를 정한다.
경계점 세 개를 판정하기
분모가 0인 곳을 빼야 합니다.
경계점 하나가 곧 n 하나이므로, 부등호의 방향을 어림짐작하지 말고 하나씩 직접 확인한다.
9.A-CED.A.1Extreme Principlet를 다시 n으로 되돌리기
조건을 다시 정수로 되돌립니다.
밑이 1보다 크므로 양변에 10의 거듭제곱을 취해도 부등호가 뒤집히지 않는다.
11.F-LE.A.4Introduce A Variable정수 개수 세기
세면 901개입니다.
연속한 정수 덩어리의 개수는 끝에서 처음을 빼고 1을 더한 값이고, 그 1이 양쪽 끝을 모두 세게 해 준다.
4.OA.A.3Identify Subproblems반복되는 log n에 이름 하나를 붙여라. 그리고 제곱근은 안쪽이 0 이상이기만 하면 되므로, 분자가 0이 되는 지점은 남고 분모가 0이 되는 지점만 빠진다.
- 실수가 될 조건을 모두 적기
- 로그에 t라는 이름 붙이기
- 부호표 만들기
- 경계점 세 개를 판정하기
- t를 다시 n으로 되돌리기
- 정수 개수 세기